1994-1997山东大学考博高等量子力学真题.pdfVIP

山东大学 1994 级硕士研究生 《高等量子力学》试题 1995 年 1 月 12 日 说明:(1)全试题共五大题,每题 20 分,满分 100 分; (2)考试时间 3 小时,试题与答卷一起上交。 一、（1）双粒子构成的全同粒子系统，每个粒子的自旋量子数均为 s ，求证总自旋波函数 中对称与反对称的比例是 (s ?1) / s ； ? （2）设 J 是角动量算符，定义移位算符 J ? ? J x ? iJ y ；令T 表示时间反演变换算符， ? ? ?1 * ?1 ? ?1 ? 且成立关系TQT ? UQ U ，TJT ? ?J ；令空间转动幺正算符 R ? exp(?i?J y / ?) ， 求证 RT 与 J ? 对易。 二、设全同玻色子系统哈密顿算符仅是动能算符，即 H ? T ，而动能算符用场算符表示成 ? ? ? ? T? ? dx?? ? (x)T(x)? (x) ，这里? 是粒子自旋量子数。在海森堡绘景中场算符满足 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 的运动方程是i? ?? H ,? (x,t) ? ??? H ,? (x,t), H(x,t)?。求证在该情况下场算符满足的运动 ?t 方程可化为 ? ? ? ? ? ?i? ?T(x)??? H ,? (x,t) ? 0。 ? ?t ? 三、量子系统在一定时刻的态矢量是对该时刻状态的完整描述，也决定了在自然发展中演 化到其它时刻的状态。按照态叠加原理，态矢量之间的线性关系在随时间演化过程中不变。 因此系统的运动过程可以用一个线性算符T(t,t0 ) 来描述，由此给出t0 与t 时刻态矢之间的 关系： ?(t) ? T(t,t0 )?(t0 ) 。 （1）在坐标表象给出上式的表示，说明T(t,t0 ) 算符矩阵元的意义； （2）对于自由粒子，求出T(t,t0 ) 算符在坐标表象中的矩阵表示，成为传播函数或传播子。 四、两个自旋为 1 的粒子，它们之间的相互作用为偶极-偶极相互作用，这个相互作用势 2 ?? 能用总自旋算符 S 表示为 ?? ? 2A ? ?? 3(S ? r) 2 ? H ? ?S 2 ? ? ， r 3 ? r 2 ? ? ? ? ? ? 这里的 r 是粒子之间相对矢径。在t ? 0 时一个自旋与 r 平行，另一个则与 r 反平行，求在 ? 势能作用下t 时刻的状态，以及两个粒子自旋都改变方向的时间。计算时取 r 为常量。 五、定态散射理论中，能量 E ? 0 的散射形式解是