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高等应用数学历年试题（04—07） By HuaRunan 2008-12-27 04—05 年 1.求以ε 的幂指数表示的下列函数的近似表达式。其中 0 ε 1，展开式保留至 O()ε 2 。 π （1） ln(eε ++ 1ε ) （2） tan(+ ε ) 4 ∞ cost 2.求 Fx()= dt 当 x →∞的渐进展开式。 ∫x t 3.证明：0 ε 1时，方程 x2 ?=ε e?ε x 有一实根，并求出这个根的近似解（保留 3 项）。 dx 4.求解方程 =?ax x3 的平衡点及其稳定性。其中a 为常数，分a 0 和a 0 两种情况讨 dt 论。 yyy?+=ε  0 5.用双重尺度法求解方程： ， 0 ε 1的高阶近似。 y(0)== 0,ya (0) ε yy?=  2 x 6.求解方程： 的 1 阶近似。其中 ε 1。 yy(0)= α , (1) = β 05—06 年 1.求以ε 的幂指数表示的下列函数的近似表达式。其中 0 ε 1，展开式保留至 O()ε 2 1/2 1 ε ?cosh( ) （1） （2） e ε （3） ln? 1+ ln(1+ 2ε ) ? 1cos? ε ? 12? ε ? dy2 1 2.方程 +=y （π ≤∞t ） yy()ππ= 0,() = 0 求yt() 当 t →∞的渐近式（先积 dt2 t ∞ sin x 分，再分部积分）。 dx ∫t x 3.证明：当 01 ε  时，1(++x21/2ε ) =ex 有实根。当ε → 0+ 时，求这个根的一阶、二阶 近似。 dp 4.分析 =?ap? E p?c E ?的平衡点，稳定性和轨道。 dt ?12? ε yy+= 2 x 5.求 的奇异扰动解。 yy(0)==α , (1) β yyy++=20ε 6.多重尺度： 01 ε  yy(0)= 0, (0)= 1 06—07 年 1.求以ε 的幂指数表示的下列函数的近似表达式。其中 0 ε 1，展开式保留至 O()ε 2 ln(2+ ε ) 1sin? ε （1） （2） （3） etanε 1+ ε 1sin+ ε 2.估算 2005！的数量级 yyx?= ? 2 3.已知通过常数变易法可得方程 的精确解（具体求解不作要求），且在精确 yy(1)= 1, (1)= 0 xt? ∞ e 解中涉及到一个积分 Fx()= dt，求Fx() 在 x →∞的渐进展开式。 ∫x t 2 4. 方程 x =?eyy?1 21 ?，01≤ x  。求 yyx= () 至少三项。