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2014届本科毕业论文 数列通项求解 学院名称:数学与计算科学学院 专业班级:10101班 学生姓名: 答辩日期:2014 目 录 引言 1.1简要了解迭代法 2.数列基本形Ⅰ 2.1等差数列通项 2.2等比数列通项 2.3其他数列通项 2.4通项求解应用 3数列基本形Ⅱ 3.1 数列Ⅱ通项求解 3.2Ⅰ和Ⅱ形的结合 3.3数列变式例题应用 4数列基本形Ⅲ 4.1分情况求解 4.2数列应用求解 4.3例题应用 5数列基本形IV 5.1数列的构造 5.2通项的求解 5.3例题的应用 6.综合命题应用 6.1例题 7.总结 数列通项求解 摘要：本文通过针对各种不同类型的数列关系等式进 分类，总结了四大类型数列关系基本类别。主要利用 造法和迭代法来分别研究四大基本类型的数列关系等 通过不同情况分析来求解其数列的通项公式，并对此做 出了总结和分析，通过实例求解来加强对通项公式的 解。 关键词：数列关系等式，迭代??，构造法，数学归纳法,实例，公式。 译文: 数列通项求解 1.引言 数列通项求解是数列研究的重要部分，其中的求解思和 方法是重要的研究手段。基本的题型是我们研究的重要 对象。 数列通项求解主要针对一些常见的基本题型，其中涉 数列关系等式，关系式中主要包括线性函数、指数， 列通项。通过一些常见的方法（迭代法和构造法），对 本的数列关系骨架进行简化分析，将对象的简化方法 基本的等比、等差数列基本形式方向化简。研究数列 系的基本形式有利于提高学生的综合分析水平，将复 的对象简单化。能使学生更加娴熟的运用我们所学的 本知识。开阔学生的解题思路，平铺知识的横向关系 培养学生的逻辑思维能力。而且能以基本关系式来强 所有数列中两个最基本的数列（等比数列和等差数列） 通过等差，等比数列的基本性质和通项公式来将其他 形式的求解加以解决。 市场中很多需要统计和收集的数据，除了依赖统计学 外，可以运用到函数法等。针对一些数据不能函数化 的，可以运用归纳法，线性归化法，和数列法，将对 具体化。使研究人员更加系统化和针对性的研究其变化 趋势。 本文通过探讨四个数列基本关系的通项求解，将其进 分类，简练化求解，重点研究数列的求解过程及其应用 1.1简要了解迭代法 迭代：按照一定的迭代规则，从原象到初象的反复映 过程，它相当于程序设计中的递归运算。通俗的讲就是用自身的结构来描述自身。 原象：产生迭代序列的初始的对象，通常称为“种子” 初象：原角通过一系列变换操作而得到的象，与原象 相对概念。 迭代法在代数学和几何学中是重要的研究手段。本文 主要是研究在代数学中的应用。通过一些例题的分析 加深对迭代的理解。 1.2数学归纳法 2数列基本形Ⅰ:an+1=qan+pn+k 2.1:等差数列 令q=1,pn=d,k=0时， 数列an+1=an+d(其中a1为首项，d为公差,an为等差数列) 则{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d（n≥2）（累加法求得） an+1=an+1n(n+12),已知a1=1,求数列{an}的通项公式。 解:此关系式类似于an+1=an+d(d为公差,且为常数), 但这里的d’=1n(n+12)(它并不为常量),一般对于这种分母为n的多次幂的,通学采用裂项相加法(结合累加法),所以d’=1n(n+12)=42n(2n+1)=4(12n-12n+1). 利用累加法: an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)…+（a2-a1）+a1 =4(12n-2-12n-1+12n-3-12n-2+…+12-13)+1 =4(12-12n-1)+1(n≥2) 也可以用迭代法,但其过程与累加法一致. 所以所求{an}的通项公式为an=4(12-12n-1)+1(n≥2)1(n=1) 2.2：等比数列 令q≠0，pn=0,k=0时， 数列an+1=qan(其中a1为着项,q≠0为公比，an为等比数列) 则{an}的通项公式为an=aqn-1（n≥2）（累积法求得） ①an+1=3n2(n+1)2an,已知a1＝1,求数列{an}的通项公式。 解: 方法一:从关系式中可以看出其形式类似于an+1=qan(其中q为公比)根据累加法: an=anan-1·an-1an-2·an-2an-3……·a3a2·a2a1·a1 =3n-12n2·3n-22n-12·3n-32n-22·……·32232·31222·1 =3n-1[n-1!]2(n!)2=3n-1n2 方法二:构造等比数列{nan} 具体过程如下所示: ∵an+1=3n2n+12an ∴(n+1)2an+1=3n2an 故而可以构造出等比数列{n2an}其首项为a1,公比为q,所以根据等比数列可以计