24特征值分解c语言课程设计.docVIP

 PAGE 7 设计题目： 24.特征值分解 2012年 8 月 27日 目录 设计目的及要求……………………………………………………………… 2 总体设计……………………………………………………………………… 2 详细设计……………………………………………………………………… 2 Jacobi函数的功能介绍…………………………………………………… 5 调试分析……………………………………………………………………… 7 总结…………………………………………………………………………… 8 答辩记录……………………………………………………………………… 8 教师意见……………………………………………………………………… 8 正文 设计目的及要求 1.1 设计目的：矩阵特征值分解被广泛应用于土木工程问题的数值计算中，如可用于计算结构自振频率及自振周期、结构特征值屈曲问题等。 1.2 设计要求： 特征值分解（B级）的功能要求： a) 输入一个对称正方矩阵A，从文本文件读入； b) 对矩阵A进行特征值分解，将分解结果，即U矩阵、S对角矩阵输出至文本文件； c) 将最小的特征值及其对应特征向量一并输出至文本文件； d) 验证其分解结果是否正确。 总体设计 利用Jacobi算法将矩阵特征值分解 将结果输出至output.txt 向input.txt中输入一个对称正方矩阵 3.详细设计 函数的功能介绍，参数说明等 4.1 函数的功能介绍: 首先介绍Jacobi算法。 a) J-方法用于求实对称阵的全部特征值、特征向量. b)对于实对称阵 A，必有正交阵 U，使 其中S是对角阵，其主对角线元i是A的特征值. 正交阵U的第j列是A 的属于i的特征向量. c)原理：Jacobi 方法用平面旋转对矩阵 A 做相似变换，化 A 为对角阵，进而求出特征值与特征向量. d)平面旋转矩阵:对于p≠q,下面定义的 n 阶矩阵 是平面旋转矩阵。 e)记 n 阶方阵 A = [], 对 A 做下面的变换： = (3.12) 仍然是实对称阵，因为， ，知与A的特征值相同. 推导可知： 由此见到，矩阵 A1 的第 p 行、列与第 q 行、列中的元素发生了变化，其它行、列中的元素不变。 特别，取旋转角满足下面的条件： （3.14） 这是因为， 为保证单值，限定 ||/4 。 当 qp+1时, f)Jacobi 具体算法 (1) 在 A 的非主对角线元素中，找到最大元 . (2) 用式(3.14)计算 tan2，求 cos, sin及矩阵 . (3) 用公式 (3.13) 求。 (4) 若 ,停止计算. 否则, 令 A = A1 , 重复执行 (1) - (4). 停止计算时，得特征值,i=1,2,…,n. (5)特征向量的求解:设经过 N 次迭代，得到对角阵，则做了下面的变换 一般，。 记，则 U 为正交阵, 且 U 的列向量为 A 的特征向量。 5.调试分析 向input.txt中输入一个对称正方矩阵（题目所给示例） 程序运行中 将结果输出至output.txt 总结： 因采用Jacobi算法而非传统特征值分解，大大降低运算难度，且使得任意阶数的对称正方矩阵均可被特征值分解，故可以便捷地应用于土木工程问题的数值计算中，如可用于计算结构自振频率及自振周期、结构特征值屈曲问题等。 答辩记录： 教师意见：