专题五最短路线.docVIP

 PAGE 7 专题五 最短路线 学习锦囊 从一个地方去另一个地方，如果有好几条路可以到达，我们一般会选择最近的那条，这样既省时又省力。比如邮递员送信，要穿遍所有的街道，为了少走冤枉路，需要选择一条最短的路线，以求能够花最少的时间到达目的地……在日常生活、工作中，经常会有这种“最短路线”问题。 例题讲析 假如直线AB是一条公路，公路两侧有甲、乙两个村子（左图）。现在要在公路上修建一个公共汽车站，让这两个村子的人到汽车站的路程之和最短。问：车站应该建在什么地方？ 【思路点拨】如果只考虑甲村的人到公路AB的最短路线，只要由甲村向公路AB画一条垂线，垂线与公路AB的交点，就是甲村到公路AB最近的点，但是到乙村就远了。 同样道理，也能找到乙村到公路AB最近的点，但是到甲村就远了。 在公路AB上建的站点，要使甲村和乙村的人到这个车站来不走冤枉路，即路程之和最短。根据两个地点之间走直线最近的原理，只要在甲、乙两村间连一条线段，这条线段与公路AB的交点P，就是公共汽车站的建站点了。 【详细解答】（请详细说明并作图） 小英、小红两家分别住在小河岸边的A、B两地（图1），两家想在河边合修一个取水码头，请问：这个码头建在何处，才能使小英、小红两家取水时所走的路程之和最短？ 【思路点拨】A点到小河垂线段最短，可如果在A、B点分别作河岸的垂线段，跟河岸会有两个交点，这不是有两个码头了吗？ 所以这种方法行不通。我们可以先找到A点以河岸为对称轴的对称点A′，再连接A′B，线段A′B与河岸有个交点P，A′P＝AP。 两点之间线段最短，所以P点就是我们要建的码头。 【详细解答】（请详细说明并作图） 一个邮递员投送信件的街道如下图所示，图上数字表示各段街道的千米数。他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。问：走什么样的路线最合理？全程要走多少米？ 【思路点拨】前面我们已经学过“一笔画”问题。在“一笔画”问题中，一笔画路线应该是最短的。邮递员从邮局出发，还要回到邮局，按一笔画问题就是从偶点出，回到偶点。 要能一笔把路线画出来，必须途经的各点全是偶点。但是图中有8个奇点，显然邮递员要走遍所有的街道而又不重复的路是不可能的。所以必须使8个奇点变成偶点，就是要考虑应在哪些街道上重复走，即图上添哪些线段，使奇点变成偶点。 经过尝试，有以下几种添法（如下图） 既然有不同的添法，就要考虑哪一种添法能使总路程最短。 我们可以分别求出四种走法重复走的路程： （1） （2） （3） （4） 经过上面的分析，你能找到最短的路线吗？ 【详细解答】 如图，线段表示的是小明从家到学校所能经过的所有街道。小明上学走路的方向都是向东或向南，因为他不想偏离学校的方向而走冤枉路。那么小明从家到学校可以有多少条不同的路线？ 【思路点拨】首先我们在交叉点上标上数字母。从小明家到A、B、C、D各点都是沿着直线行走，如果只有一种走法，就在交叉点处标上“1”。 从小明家到E处，就有先到A或先D处两种走法，正好是A和D处标注的数1与1的和。 同理，从小明家到F点，也有先到B或先到E的两种走法，B、E处标注的数1与2的和就是小明家到F点的3条线路。如下图所示： 标注在各交叉点上的数，就是到各交叉点所走的不同路线的条数。 【详细解答】 如下图，从甲地到乙地最近的道路有几条？ 【思路点拨】按照例4的方法，请同学们在各交叉点标上字母，然后再来确定路线数。 【详细解答】 总结与提示 不走“回头路”，寻找最短路线，要按照一定的逻辑次序来排列可能路线，要做到既不重复数，也不漏数。对于比较复杂的图形，可以用画图表，并在交叉点上标注数字的方法来寻找路线的条数。 思考与练习 如图，在一条河的两边有A、B两个小区。为了便于两个小区的居民往来，准备在河上建一座桥，请问：这座桥建在何处，才能使两个小区的居民来往路程最短？ 古希腊有一位著名的学者，名叫海伦。有一天，一位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：从甲地出发到河边饮马（如下图），然后再去乙地，走什么样的路线最短呢？这就是后来被人们称为“将军饮马”的问题。小朋友，你能回答这位将军提出的问题吗？ 下图是一个街区街道的平面图。邮递员从邮局出发，跑遍所有街道投递信件。请你为他安排一条最短的路线，并按图中标出的千米数算出这条路线的长度（单位：千米）。 下图是一个街道平面图。王宏