“动态圆”模型的应用.docxVIP

PAGE \* MERGEFORMAT10 “动态圆”模型的应用 带电粒子在磁场中的运动经常涉及动态圆。常见的动态圆模型有两种，往往都还涉及边界（极值）问题。　　 模型1 如图1，一束带负电的粒子以初速度垂直进入匀强磁场，若初速度方向相同，大小不同，所有粒子运动轨迹的圆心都在垂直于初速度的直线上，速度增大时，轨道半径随着增大，所有粒子的轨迹组成一组动态的内切圆。 　模型2 如图2，一束带负电的粒子以初速度垂直进入匀强磁场，若初速度大小相同，方向不同，则所有粒子运动的轨道半径相同，但不同粒子的圆心位置不同，其共同规律是：所有粒子的圆心都在以入射点为圆心，以轨道半径为半径的圆上，从而可以找出动态圆的圆心轨迹。使用时应注意各圆的绕向。 　　例1．如图所示，在圆形区域内存在一垂直于纸面向里的匀强磁场，一束速率各不相同的质子从A点沿圆形磁场的半径方向射入磁场。关于质子在该磁场内的运动情况，下列说法正确的是（　　） 　　A．运动时间越长的，其轨迹越长 　　B．运动时间越长的，其射出磁场时的速率越大 　　C．运动时间越长的，其轨迹对应的圆心角越大 　　D．运动时间越长的，其速度方向的偏转角越大 　　解析：该题考查动态圆的模型1． 　　质子沿半径方向射入，沿另一半径方向射出，轨迹半径r＝，偏转角等于圆心角θ＝2arctan ＝2arctan ，偏转时间t＝＝·arctan ．由此可得偏转时间越长，圆心角越大，运动速率越小，选项C．D正确．　　答案：CD 　　例2．如图甲所示，宽h＝2 cm的有界匀强磁场的纵向范围足够大，磁感应强度的方向垂直纸面向里。现有一群带正电的粒子从O点以相同的速率，从平面内的各个方向射入磁场。若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径r均为5 cm，不计粒子的重力，则（　　） 　　A．右边界：－4 cm＜y＜4 cm内有粒子射出 　　B．右边界：y＞4 cm和y＜－4 cm内有粒子射出 　　C．左边界：y＞8 cm内有粒子射出 　　D．左边界：0＜y＜8 cm内有粒子射出 　　解析：该题考查动态圆的模型2。　　作出如图乙所示的示意图，由几何关系可得：临界点距x轴的间距y＝＝4 cm。　　答案：AD 　　例3．（2010全国I，第26题）如下图，在区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B．在t=0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在0～180°范围内。已知沿y轴正方向发射的粒子在时刻刚好从磁场边界上点离开磁场。求： 　　（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q／m； 　　（2）此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围； 　　（3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。 　　解析：涉及动态圆的模型2。 　　（1）粒子沿y轴的正方向进入磁场，从P点经过做OP的垂直平分线与x轴的交点为圆心，根据直角三角形有，解得 　　由于，则粒子做圆周运动的圆心角为120°，周期为 　　粒子做圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，根据牛顿第二定律得 　　，，化简得． 　　（2）仍在磁场中的粒子其圆心角一定大于120°，这样粒子角度最小时从磁场右边界穿出；角度最大时从磁场左边界穿出。 　　角度最小时从磁场右边界穿出圆心角120°，所经过圆弧的弦与⑴中相等穿出点如图，根据弦与半径、x轴的夹角都是30°，所以此时速度与y轴的正方向的夹角是60°；角度最大时从磁场左边界穿出，半径与y轴的夹角是60°，则此时速度与y轴的正方向的夹角是120°。所以速度与y轴的正方向的夹角范围是60°到120°。 　　（3）在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹应该与磁场的右边界相切，在三角形中两个相等的腰为，而它的高是，半径与y轴的夹角是30°，这种粒子的圆心角是240°。所用时间为。所以从粒子发射到全部离开所用时间为。 　　有些时候，动态圆问题可以适当结合解析几何，难度陡增。 　　例4．（2009海南，第16题）如图，ABCD是边长为的正方形。质量为、电荷量为的电子以大小为的初速度沿纸面垂直于BC变射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求： 　　（1）次匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小； 　　（2）此匀强磁场区域的最小面积。 　　解析：涉及动态圆的模型2，但要做适当变化，可逆向思考。 　　（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。令圆弧AEC是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道。电子所受到的磁场的作用力 　　 ① 　　该力应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。圆弧AEC的圆心在CB边或其延长线上。依题意，圆心在A．C连线的中垂线上，故B 点即为圆心