有限元解析数学求解原理.pptVIP

有限元分析的数学求解原理;一般说来，求解方程的途径有两大类： 1）直接针对原始方程进行求解 2）间接针对原始方程进行求解;直接解法——解析法：;——根据问题的性质，确定基本未知量和相应的基本方程，并且假设一组满足全部基本方程的应力函数或位移函数。然后在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的物体，其表面将受什么样的面力作用或者将有什么样的位移。;——对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状，受力特征和变形特点，或已知简单结论，如材料力学解，假设部分应力分量或者部分位移分量的函数形式为已知，由基本方程确定其他的未知量，然后根据边界条件确定未知函数中的待定系数。;直接解法——有限差分法：;有限差分格式;间接解法——加权残值法：;虚功原理定义：弹性体处于平衡状态，对于满足变形连续条件的 虚位移及???虚应变，外力在虚位移上所做的虚功，等于真实应力 分量在对应的虚应变上所做的虚功，即虚应变能。;;把一个物理学问题用变分法化为求泛函极值（或驻值）的问题，后者就称为该物理问题 的变分原理。如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。 在当代，变分原理已成为有限元法的理论基础，而广义变分原理已成为混合和杂交有限元的理论基础。在实际应用中，通常很少能求出精确的解析解，因此大多采用近似计算方法。;1）假定 2）将上式代入泛函 ，计算变分 。 3）由极值条件，算出待定常数 ，使之满足基本微分方程。 4）把得到的常数代回 ，得到所求问题的解。 ; 工程问题无论是几何形状、受力方式还是材料特性都是前变万化的，因此一种求解方法是否有优势，其判断标准应该是 具有良好的规范性（不需要太多的经验和个人技巧） 具有良好的适应性（可以处理任何复杂的工程实际） 具有良好的可靠性（计算结果收敛稳定，精度高） 具有良好的求解可行性（计算工作量） ;本章主要内容;1.1 简明问题的解析求解——一维拉压杆问题;基本方程： ;对三大方程直接进行求解得;讨论1 若用材料力学的经验方法求解，则需先作平面假设，即假设应力为均匀分布 σx=P/A 由广义胡克定律得 εx=P/EA 右端的伸长量为 Δu=εxl=Pl/EA ;讨论2 应变能 动能 势能 ;有限元分析步骤-单元分析;回代得 写成矩阵形式为;根据几何方程得 根据物理方程得 从而，根据单元分析结果，进行整体分析，求解整体方程组，进行结果分析;由虚功原理可以推得 ;1.2 简明问题的解析求解——平面梁问题;简支梁的特征： 梁为细长梁，因此可以只用x坐标来刻画； 主要变形是垂直于x的挠度，可以只用挠度来描述位移场。 针对这两个特征，可以做出以下两个假定： 直法线假定 小变形和平面假设;直法线假定：一垂直中面的直线(称为法线)，变形时不伸缩，并且仍为弹性曲面的法线。 平截面假定：平截面假定是材料力学中最基本的假定之一。这个假定认为所有与杆轴线垂直的截面在杆件变形后仍保持为平面。这样截面上每一个点的变形趋势就可以确定，如果知道了中性轴的位置和任意一点的应变（变形），整个断面的应变就可以知道，这是建立该假设的基础。实验也证明匀质弹性体根据此项假定所得的计算结果是准确的。 ;基于以上假定，该问题的三类基本变量为 位移：中性层的挠度v（x=y=0） 应力：x方向的正应力σx，其他应力分量很小忽略不 计，该变量对应于梁截面上的弯矩M 应变：采用εx ，满足直法线假定;平衡方程： x方向 y方向;几何方程： ab的变形为： 因此正应变为： ;物理方程： 由广义虎克定律有 整理得 边界条件;x方向平衡 y方向平衡 ;求解方程 得 ;讨论 应变能 外力功 势能 ;; 根据边界条件可以确定待定系数，将其进一步回代，可以得到用节点位移表示的梁单元位移。 ;;从而可以由单向虎克定律得出单元的轴向应力：;由虚功原理可以推得 ;2 弹性力学问题近似求解的加权残值法;试函数方法的基本原理： 先假定满足一定边界条件的