大学数学概率论及试验统计第三版1_2.pptVIP

§1.2 随机 事件的概率 研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率. 一.事件的概率 概率是随机事件 发生可能性大小 的度量 事件发生的可能性 越大，概率就 越大！ 用一个数来度量可能性的大小，这个数应该是事件 本身所固有的，可以在相同的条件下通过大量的重复试 验予以识别和检验；这个数还应该符合一般常情，可能 性大的事件用较大的数来度量，可能性小的事件用较小 的数来度量，可能性相等的事件用相同的数来度量。 事件发生的可能性 最大是百分之百，此时 概率为1. 0≤P(A)≤1 我们用P(A)表示事件A发生的概率，则 事件发生的可能性 最小是零，此时 概率为0. （一）频率的定义 二、频率与概率 —概率的统计定义 事件A在n次重复试验中出现nA次， nA称为事件A 的频数，比值nA/n称为事件A的频率，记为fn(A). 设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则 （二）性质 实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率. 波动最小 随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性 我们再来看一个验证频率稳定性的著名实验 高尔顿(Galton)板试验. 试验模型如下所示: 　　自上端放入一小球,任其自 由下落,在下落过程中当小球碰 到钉子时,从左边落下与从右边 落下的机会相等.碰到下一排钉 子时又是如此.最后落入底板中 的某一格子.因此,任意放入一球, 则此球落入哪一个格子,预先难以确定.但是如果放入大量小球,则其最后所呈现的曲线,几乎总是一样的. 重要结论 　　频率当 n 较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增 大时 ， 频率趋于区间[0，1]上的某一个稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小．它就是事件的概率，也叫做经验概率． 医生在检查完病人的时候摇摇头：“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活.” 当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说：“但你是幸运的．因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病.”　　 医生的说法对吗? 请同学们思考. 我们重点介绍的计算概率的数学模型，是在概率论的发展过程中最早出现的研究对象，通常称为 古典概型 三、古典概型 —概率的古典定义 常常把这样的试验结果称为“等可能的”. 试验结果 2 3 4 7 9 10 8 6 1 5 例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球. 将球编号为1－10 .把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球. 我们用 i 表示取到 i号球， i =1,2,…,10 . 称这样一类随机试验为古典概型. 2 且每个样本点(或者说基本事件)出现的可能性相同 . S={1,2,…,10} , 则该试验的样本空间 如i =2 2 3 4 7 9 10 8 6 1 5 称这种试验为 有穷等可能随机试验 或古典概型. 定义1 若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同. 对于古典概型，其样本空间S(Ω)由n个样本点组成，事件A包含k个样本点，则定义事件A的概率为： 此即为概率的古典定义。 这一直观的本质是 静态的“比例”转化为动态的“概率” 自然地，排列与组合是计算古典概率的重要工具 ： 下面这个结论对吗？ 抛掷两枚均匀硬币,观察正、反面出现的情况。 数学家达郎贝尔说共有三种情况: {正、正}， {反、反} ，{一正、一反}； 从而： P{一正、一反}=1/3. 这是历史上关于古典概型的应满足的条 件的一个很著名争论。 解 典型例题 在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法 共有 于是所求的概率为 解 在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有 古典概型的基本模型:摸球模型 (1) 无放回地摸球 问题1 设袋中有4 只白球和 2只黑球, 现从袋中无 放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球的概率. 解 基本事件总数为 A 所包含基本事件的个数为 (2) 有放回地摸球 问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球 的概率. 解 第1次摸球 基本事件总数为 A 所包含基本事件的个数为 6种 第1次摸到黑球 4种 第3次摸到红球 课堂练习 1o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,第一位不能为0，求数字0出现3次的概率. 2