“高等数学”课件2—1微商的概念.pptVIP

第二章 微积分的基本概念 2-1 微商的概念 1. 微商的定义 首先介绍变量的增量概念. 自由落体运动 设描述质点运动位置的函数为 物体沿直线运动的瞬时速度 例：求自由落体运动: 2. 曲线的切线斜率 曲线 在 M 点处的切线 割线 M N 的极限位置 M T 割线 M N 的斜率 切线 MT 的斜率 两个问题的共性: 瞬时速度 切线斜率 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 角速度 线密度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 变化率问题 定义 说明 表示 在点 的某个右 邻域内 单侧导数 若极限 则称此极限值为 记作 (左) (左) 定义2 . 设函数 有定义, 存在, 即 显然: 函数在一点可导 其左右导数都保存并相等. 证 导函数 例1 求函数 (C 为常数) 的导数. 解 简单地说，常函数的导函数为零. 在一个区间内导数恒为0的函数是一个常数函数. 例 2 解 求函数f(x)=sinx的导数. 即 例4 设m为一自然数，则 证 说明： 对一般幂函数 （以后将证明） 例如， 解 解 函数的可导性与连续性的关系 设 在点 处可导, 即 也就是说， 我们令 即 反例: 在 x = 0 处连续 , 但不可导. 又例如 在x=0点是连续的，但它在该点是不可导的. 函数在某点连续是函数在该点可导 的必要条件，但不是充分条件 . 再举一个例： 极限不存在 . 因为 内容小结 1. 导数的实质: 3. 导数的几何意义: 4. 可导必连续, 但连续不一定可导; 5. 已学求导公式 : 6. 判断可导性 不连续, 一定不可导. 直接用导数定义; 看左右导数是否存在且相等. 2. 增量比的极限; 切线的斜率; 思考与练习 区别: 是函数 , 是数值; 联系: 注意: 有什么区别与联系 ? 与导函数 2. 设 存在 , 则 3. 已知 则 4. 若 时, 恒有 问 是否在 可导? 解: 由题设 由夹逼准则 故 在 可导, 且 5. 设 , 问 a 取何值时, 在 都存在 , 并求出 解: 故 时 此时 在 都存在, 显然该函数在 x = 0 连续 . 2、微商的四则运算 定理1. 的和、 差、 积、 商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且 此法则可推广到任意有限项的情形. 证: 设 , 则 故结论成立. 例如, (2) 证: 设 则有 故结论成立. 推论: ( C为常数 ) (3) 证: 设 则有 故结论成立. ( C为常数 ) 例 7 例 8 例 9