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第二章 状态波函数和薛定谔方程 本章引入描述量子体系状态的波函数，给出波函数的几率波解释和态的叠加原理两个量子力学的基本假设，在此基础上建立非相对论量子力学的基本方程——薛定谔(Schr?dinger)方程，并通过几个具体实例介绍定态薛定谔方程的解法。 §2.1 波函数的几率波解释 1.波函数 由第一章的讨论可知，微观粒子的波粒二象性是对粒子运动的一种统计性的反映。数学上，把这种具有统计性的物质波（粒子波）用一个物理量来描述，称为波函数。它是位置和时间的复值函数，表示为或。微观体系的状态总可以用一个波函数来完全描述，即从这个波函数可以得出体系的所有性质，且和（为比例常数）描写同一量子状态。引入波函数来描写微观粒子的运动状态是量子力学的基本假设之一。 2.波函数的几率波解释 在历史上，人们对波函数的解释曾有过不同的看法。有人认为波是由它所描写的粒子组成的；也有人认为粒子是无限多波长不同的平面波叠加而成的波包。除以上两种观点外，还有其它一些不同的看法。但是，这些看法都与实验事实相矛盾，而被物理学家们普遍接受的解释是玻恩(Born)提出的统计解释，即几率波解释。为了说明玻恩的解释，我们首先来考察电子的双缝衍射试验。在电子的双缝衍射实验中，电子枪发射强电子束时，荧光屏上马上显示出明暗相间的双缝衍射条纹，这是电子的波动性的表现。当电子枪发射弱电子束时，屏上接收的只是一个一个的亮点（电子），这体现了电子的微粒性。若对弱电子束的衍射作长时间的曝光，则得到的衍射花样与强电子束的衍射花样完全相同。实验表明，在出现亮条纹的地方，亮点较密集，电子投射的数目较多，即电子投射几率较大；而在比较暗的地方，达到的电子数目较少，即电子投射的几率较小。电子在衍射实验中所揭示的波动性质，可看成是大量电子在同一个实验中的统计结果，也可以认为是单个电子在多次相同实验中显示的统计结果。因此用来描述具有统计性的物质波的波函数也一定具有统计特点。 据此，德国物理学家玻恩在1924年提出了波函数的统计解释：空间某点波函数绝对值的平方乘以该点附近的小体???元,即表示在时刻在点附近小体积元内找到粒子的几率。 这表示，描写粒子的波是一种几率波，而不是真实存在的实体，不是可观测的物理量。 波函数的统计解释是波函数的一个重要性质。在经典物理中，一个经典波可以用实数也可以用复数表示，用复数表示仅仅是为了数学上的方便， 实际上只有实部才有物理意义。在量子力学中，波函数一般必须用复数表示，有物理意义的既不是实部，也不是虚部，而是它的绝对值的平方，它表示粒子在空间点附近单位体积内出现的几率称为几率密度，通常用表示，而叫几率振幅，或几率幅。 练习1： 设粒子波函数为，求在范围内发现粒子的几率。 解：由波函数的统计解释可知: 代表在范围内发现粒子的几率， 则在范围内不论，取何值的几率为 . 练习2： 设在球坐标中，粒子波函数为 求：（1）在球壳（）中找到粒子的几率， （2）在（）方向的立体角中找到粒子的几率。 解：在球坐标中，体积元的形式为 ， 在球壳（）中发现粒子的几率为 . （2）在（）方向的立体角中找到粒子的几率为 , 其中. 3.波函数的归一化 量子力学第一基本假设告诉我们，与描写同一微观状态，这是因为和表示的几率分布是一样的。比如粒子出现在空间与两点的相对概率可表示成：。这说明量子力学中波函数描述的是相对几率密度分布。 这与经典波（声波、光波等）完全不一样，经典波的振幅增加一倍， 则其波动能量增加为原来的四倍，为两种完全不同的态。 既然表示时刻，点附近体积元发现粒子的几率，而非相对论下，实物粒子不会产生或湮灭，必定会在空间某点出现，则对一个粒子而言，它在整个空间出现的几率为1，数学上表示为： . （1） 这称为波函数的归一化条件，满足上式的波函数称为归一化的波函数。 为方便引入符号 ， （2） 则归一化条件可简写为：。 由于与描写同一量子状态，所以描写同一量子状态的波函数形式不是唯一的，一般情况下，我们都是选取归一化了的波函数来讨论问题，对不是归一化的波函数，通常需要把波函数归一化，即要求满足下面条件： , （3） 式中积分号下的无限大符号表示对整个空间积分。由（3）式有 . （4） 称为归一化常数，其解具有不确定性，可以是正负实数，也可是复数。如考虑一个常数（为实常数），因为，则，称为相因子。由此可见，归一化后的波函数可以含有一任意相因子，仍然不是完全确定的，为了方便，一般规定归一化常数取正实