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关于矩阵行等价的一些思考 杨忠鹏1 陈梅香1 晏瑜敏1 陈智雄1 林志兴1 林丽生1，2 1.莆田学院数学系 2008年10月11日 2.辽宁工业大学机械工程及其自动化学院 目　录 一、引言 矩阵的初等变换是高等代数中一种非常重要的思想方法，而通常计算中使用最多的就是矩阵的行初等变换． 性质2 矩阵的行初等变换不改变方阵的可逆性。 性质3(见[3,定理]) 对矩阵施行行初等变换不改变矩阵的列向量的线性关系。 性质1 （见[1,定理3]）矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩。 二 、现状 利用初等行变化，把一个矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵，是一种很重要的运算，应用十分广泛，如研究讨论矩阵的逆、秩，向量线性相关性的判别，解线性方程组等，日显其重要性。随着技术的发展，其计算技术也日趋完善，可通过多种工具，如计算器， Matlab(Octave), Mathematica,Maple等，这些工具都可以做大部分常规的矩阵运算，如矩阵运算、求逆、转置、简化行阶梯形、行列式、LU分解、QR分解，其中最重要的是简化行阶梯形 。但相比之下，其理论部分相 二 、现状 对滞后。在国内的高等代数和线性代数教材中，一般地，没有像对待矩阵间的相抵、合同、相似关系那样从理论上重视这种等价关系．国外的一些教材（如[3-5]）都有给出行简化梯形矩阵的定义及其应用,并指出它是唯一的, 但对“矩阵的行标准形是唯一的”这一结论的证明或略去，或在后面用更多更深刻的知识作为附录给出证明的过程．现在使用这些知识的教材越来越多（如[6－9] 等），但很少将“矩阵行最简形是唯一的” 的证明放在课堂上，这种现象产生的主要原因在于“矩阵的行标准形是唯一的”这个结论的证明是复杂的． 三、广泛的应用 1、教学中的基本要求 2、课后讨论、研究 3、能力提升（毕业论文选题） 1、教学中的基本要求 （1）求行列式 （2）求矩阵或向量组的秩 （3）判定向量组的线性相关性 （4）求其极大无关组，并表示其他向量 （5）求矩阵的逆 （6）求解线性方程组 计算技术日益成熟： 计算器、Matlab、Octave、Sage、Maple、Mathematica等 Matlab中 “rref ” 命令是求矩阵的行最简形 2、课后讨论、研究 (2)求向量的坐标[13] (3)求基之间的过渡矩阵，坐标变换公式[13] 实质上是用初等变换的思想解线性方程组的问题 （5）化二次型为标准型及判断矩阵正定[14] （6）把线性无关的向量组正交化[14] （8）初等变换在多项式理论中的应用 [15] （判断多项式的整除性，判断多项式有无重因式，以及求多项式的 根，求最大公因式） （i）求两个多项式的最大公因式 (ii)判定多项式有无重因式 (iii) 求商和余式 (9) 数学实验 (10)利用行等价判断方程组同解（考研題題型）： 例1（1998年全国硕士研究生入学统一考试数学四） 已知两个线性方程组 　　 为同解线性方程组，求参数m、n、t之值． （1） 　（2） 要使（1）与（2）同解，只要保证这两个方程组对应的增广矩阵有相同的行标准形即可！ 由唯一性得 例1‘（2007年北京交通大学硕士研究生入学考试试题10） 设有两个线性方程组 　　 （1）求（I）的通解； （2）当且仅当（II）中参数a、b、c为何值时，（I）和（II）同解． （I） 　（II） 例1’’（2007年湖北大学硕士研究生入学考试2） 已知两个线性方程组 　　 同解，试确定参数a、b、c的值． （I） 　（II） 例3　（ 2008年浙江理工大学硕士研究生入学考试）设 （5） （6） 为两个n+1维向量组，证明：若向量组（5）和向量组（6）等价，则线性方程组 （7）和 （8） 同解。举例说明上述命题的逆命题不成立。 事实上，逆命题是成立的！ 3、能力提升（毕业论文选题） （1）在初等数论中的应用 （i）求整数的最大公因式及其线性表出 （ii）求自然数等幂和 (见[20] ) (见[19] ) （2）解线性不定方程(见 [19] ) （3）解同余方程 (见[21] ) （6）化行简化梯形矩阵的初等变换次数 (见[23] ) （7）行简化梯形矩阵的唯一性证明及应用 (见[24] ) 四 、理论研究 　　行简化梯形矩阵是矩阵的一种标准形，如上可以发现，它在研究讨论矩阵的秩、矩阵的逆、向量的线性相关性的判别、求向量组的极大线性无关组及其余向量用极大无关组的线性表示式和线性方程组的解等多方面有着重要的应用。但在很多的国内外教材中都未将此标准形的唯一性证明放在课堂教学上. 文献【25】虽亦列有唯一性定理,但未给