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第七节 无穷小的比较 无穷小的比较 等价无穷小的替换 作 业 习题1-2 剩余的全部 * 1/13 一、无穷小的比较 无穷小之比的极限（0/0）可以出现各种情况： 出现不同情况的原因是无穷小趋向于零的速度不同. 例如, 不可比. 观察各极限 2/13 定义: 注 若 ??? ?C，则 ??C?. 3/13 例1 例２ 解 4/13 常用等价无穷小: 5/13 例3 证 证毕 6/13 证 证毕 意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式． 例如, 7/13 例4 解 8/13 二、等价无穷小代换 定理２(等价无穷小代换定理) 证 证毕 注 可利用这条性质简化一些极限的计算：求极限时，分子、分母中的因子可用等价无穷小替换（替换后极限情况不变）。 9/13 例5 解 例6 解 10/13 例7 解 解 错 注意：只可对乘积中的无穷小因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小项不能作等价无穷小代换（但是，可以象例4中那样利用等价无穷小）. 11/13 注 对无穷大量也可以比较它们趋于无穷大的速度，定义高（低、同）阶无穷大以及等价无穷大；也可以进行等价无穷大替换。 12/13 三、小结 1、无穷小的比较 反映了同一过程中， 两无穷小趋于零的速度相对的快慢。 但并不是所有的无穷小都可进行比较。 2、等价无穷小的代换: 求极限的又一种方法, 注意适用条件. 高(低、同)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶. 13/13 证： 所以 阶段复习 一、填空题: 练 习 题 -5 3 2 1/5 0 0 二、求下列各极限: 1/2 =2 =2x = -1 = -2 =1/2 = 0 例 求极限 17/17 解 一、填空题: 练 习 题 1 1/3 0 e 2/3 二、求下列各极限: =2 5、 =3 * * * * *