高等几何—第一章仿射坐标与仿射变换().pptVIP

高 等 几 何;课 程 概 论;课 程 概 论;课 程 概 论;欧氏几何(初等几何);仿射几何;射影几何;课 程 概 论;课 程 概 论;主 要 内 容;第一章：仿射坐标与仿射变换;二.两直线间透视仿射对应、仿射对应与仿射变换;A;2.两直线间的仿射对应;如图所示：;;如图;平面到平面的仿射对应是有限次透视仿射对应的积组成的，是透视仿射对应链。;例1 下列图形在仿射变换下的对应图形是什么？ 平行四边形；梯形；等腰三角形；菱形；三角形的内心；三角形的垂心；角平分线；（二全等的矩形） 例2 仿射变换下，正方形有哪些性质不变？其仿射象是什么图形？ 例3 “三角形重心”与“二互相垂直直线”的仿射象各是什么？ （仿射像是另一三角形重心和两相交直线）。;§3. 1仿射坐标系;x;平面上一定点 O 及二不共线向量 e1、e2 构成一个仿射标架，记为? ? [O；e1，e2]． 任意点 M 的向径的分解式为：;显然，原点 O 的坐标是 (0, 0)；x 轴上的单位点为Ex(1, 0)； y 轴上的单位点为Ey(0, 1) ． 称标架 ? ? [O；e1，e2]为仿射坐标系，O 称为坐标原点， e1 和 e2 称为基本向量．;三、定理3.2 设在给定仿射坐标系下，过P1(x1, y1)，P2(x2, y2) 的直线方程为;推论：P1,P2,P3共线的充要条件是;一、定理3.3 平面上的仿射变换式为：;故得仿射变换的表达式为：; 其矩阵形式为：;用代数法可证：（1）共线点对应共线点； （2）保单比。 于是得仿射变换的几何定义： 平面内点之间的一一满足：（1）共线点对应共线点；（2）保单比。则称为平面内的仿射变换 仿射变换的代数定义3.2：平面内点之间的一个线性变换：;例1;∴仿射变换式为:;;求使直线x=0, y=0, x+2y-1=0分别变为直线x+y=0,x-y=0,x+2y-1=0;由以上(1),(2),(3)联立解得;§3. 3几种特殊的仿射变换:; ;三、相似变换;四、压缩变换;;定理4.2：;任意两个三角形面积之比是仿射不变量.;推论1;例.求椭圆面积。;例.用仿射变换证明任意三角形三条中线所分成的六个三角形的面积相等。 证明：任意一个三角形总存在一个仿射变换，将其变为等边三角形，等边三角形中三条中线所分成的六个三角形的面积显然相等，再由两个三角形面积之比是仿射不变量，得此命??对于任意三角形也成立。;例.在等腰梯形中，上下底的中点、两腰所在直线的交点、对角线交点这四点显然共线。试进行一仿射变换，能得出什么命题？ 命题：梯形中，上下底的中点、两腰所在直线的交点、对角线交点这四点共线。;例子 ：求仿射变换对应图形