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PAGE  PAGE 51 数 1.1十进制 屈指可数 例1 一个六位自然数，把左端的数字移到右端所得六位数是原六位数的3倍，求此六位数. 1.2整除 定义 （） 判定 （1）传递性 （2），即整除、的线性组合 （3），例： （4），例： （5） 证 整数的整除性特征 被2整除的特征：末一位数被2整除 被5整除的特征：末一位数被5整除 证 被4整除的特征：末二位数被4整除 被25整除的特征：末二位数被25整除 证 被8整除的特征：末三位数被8整除 被125整除的特征：末三位数被125整除 证 被3整除的特征：各位数字之和被3整除 被9整除的特征：各位数字之和被9整除 被11整除的特征：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差被11整除 连续整数乘积的整除性 个连续整数乘积被整除 例2 求证 证法1 证法2 1.3带余除法 整数对除法不封闭. ，，则，使得 ，（） 成立，而且及是唯一的. 1.4奇数和偶数 例3 围棋棋盘上有个交叉点，现白子、黑子相间 放满，问能否白子、黑子对调？ 例4 七个杯子口朝下摆在桌子上，每次翻转四个杯子， 经过若干次这样的翻动，问可不可能全部杯子口都朝上？ 例5 方程是否存在整数解？ 证 例6 证明：是无理数. 证. 1.5素数与合数 性质 素数有无穷多个，最小的素数是2，没有最大的素数； 除2外的素数都是正奇数；除2外的正偶数都是合数； 大于1的整数的所有约数中，1以外的最小正约数一定是素数； 如果是合数，那么的最小素因数一定不大于. 哥德巴赫猜想：每一个大于2的偶数都能写成2个素数之和. 1.6算术基本定理 任一整数，有唯一的分解因式： 是素数，，是正整数， 约数的个数 （先讲下例，再引出约数个数公式） 例1 360能被多少个不同的自然数整除？ 解： 例2 求在100以内具有10个约数的所有自然数. 解 1.7最大公约数与最小公倍数 情境设计：一块木板，长135cm，宽105cm，现在要把它锯成同样大小的正方形，正方形要最大，并且不允许剩下木板，问正方形的边长为多少？ 解 例1 求336与1260的最大公因数和最小公倍数. 解法1 解法2 解法3 例2 设为不等于3的素数，试证不是素数. 解 1.8同余 引入 《孙子算经》：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ 定义 设都是整数，是正整数，如果除以所得的余数相同，则称对模同余，记作，读作：a同余b，模m. 特别地， 性质 （1）反身性 （2）对称性 （3）传递性 ， 注：以上三个性质表明同余是等价关系 （4） 推论 ， （6） 推论1 ， 推论2 （7）若，且，则 例1 求除以3的余数. 解 例2 求的个位数字. 解 例3 求证 证 例4 求证7不能整除. 证 1.9完全平方数 定义 能够表示成某整数平方的那些数. 性质 平方数被2或3或4除的余数是0或1； 证 设，则，当时，，余数为0；当时，，余数为1；当时，，余数为1. 平方数被8的余数是0或1或4； 平方数被10除的余数是0，1，4，5，6，9， 即平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9（不含2，3，7，8）； 平方数若是奇数，则它的十位数字必是偶数； 相邻的两个平方数之间不存在平方数； 平方数的约数个数是奇数，反之亦真； 例1 证明不是平方数. 证 例2 设为任意给定的整数，试证方程和都没有整数根. 证 例3 证明：一个被12除余5的数不可能是平方数. 证 例4 证明：对所有正整数，不可能被15整除. 证 例5 证明一列数： 49，4489，444889… 中每一个数都是平方数. 证 例6 求证：边长和对角线都是整数的矩形的面积是6的倍数. 证 4.真题汇编 （1）(2002年)设为完全平方数，且不超过2392，则满足上述条件的一切实数对共有 对. （2）（2009数竞） 设n是大于1909的正整数，是完全平方数，求n的个数. 解 1.10 及 定义 任何一个实数，都可以唯一地把它表示为一个整数及一个正的纯小数（或者0）的和：，，. 记，. 叫做高斯函数，即为的整数部分；叫做的小数部分. 性质 （1） （2） （3）， （4）是整数 （5），， （6） 推论 （7）当时， （8） 解含，的方程 直接用定义和性质求解 解方程 ①，② 解 ①原方程化为等价方程 ，，解得或，由得，由得，所以方程①的解为或. ②原方程化为等价方程 ，解得或. 由得（），由得无解. 所以方程②的解为（）. 例 解方程 解 令，则，所以是正整数，，从而 ，，所以2或3，代入原方程得. 特殊解法 解方程. 解 令，，则显然， . 同理令，，则显然， .