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8 红包统计学 如果你有一台智能手机，如果你在上面装了某个软件，那么你2015年的春节很可能是无限的摇一摇，抢一抢中度过的。其中有很多群里流行着一种“红包接力”的玩法，大概的规则是：群里面先由一人发一个红包，然后大家开始抢，其中金额最大的那个人继续发新一轮的红包，之后不断往复循环。 这时候大家或许就会问了，一直这么玩下去会有什么结果呢？是“闷声赚大钱”了，还是“错过几个亿”了？是最终实现“共同富裕”了，还是变成“寡头垄断”了？要回答这些问题，我们不妨用统计模拟的方法来做一些随机实验，得到的结果或许会让你大跌眼镜呢。 要进行模拟实验，就需要设定一个红包金额的分配机制。但由于微信红包的算法并没有公开，所以我们只好从观察到的现象出发，“反推”出一个模型，让它尽量符合观察结果。其实这就是科学方法的精髓：我们也许永远不可能知道宇宙的“源代码”，但我们能为宇宙建立一个足够好用的模型。 一个完善的红包模型应该包括以下几点： 1、一次可以生成n个随机数，且总和为1，这样每个数乘以红包总金额就是每个人分得的钱； 2、每个随机数的期望应该均等，即n分之一，这是为了保证大家抢红包机会平等； 3、有一个参数可以用来调节红包的“公平”程度，即金额分配的波动性是大还是小。我们可以用一个参数来决定它的具体形式。越大，每人分得的金额比例就越倾向于平均，反之则波动性越大。 模拟接力游戏，开始！ 有了这个假想的红包分配机制，我们就可以来模拟红包接力的游戏。首先假设我们有一个50人的群，每人初始手头上的可用金额为50元，根据规则，每次红包的总金额是20元，发放给10个人，其中抢得最大红包金额的人将发出下一轮的红包。如果某人发完红包后余额变成了负值，就不能再继续抢红包，因为他/她已经发不起下轮红包了，但允许现在其余额为负。在实际情况中，大家可能会根据自己余额的多少来决定是否继续参加，但在此我们忽略了这种可能。 我们让红包接力100次，从最后大家的余额可以看出，有两位朋友不幸破产了，而最后资产最多的有92.20元，几乎翻了一倍。一个很明显的事实是，破产的玩家都是因为“中头奖”中得太多了， 导致入不敷出。相反，最终收得92。20元的这位玩家属于“闷声发大财”。经统计，他获得第一名0次，第二名3次，第三名2次，第四名2次，第五名4次……。 当然，概率面前人人平等，没有谁能预知自己抽中红包后会是最大的还是最小的，所以从对称性的角度考虑，个人选择的结果是完全随机的。如果我们将接力次数延长到了500次，可以看出，随着接力的进行，贫富差距会随着游戏的进行变得越来越大。这其实很好理解：总是会有人因为拿了太多头奖而破产，这样财富会在越来越少的人中间进行分配，所以相应地贫富差距就拉大了。 鉴于验证繁琐，红包数据收集不易，而且本身就是个娱乐项目，此处就不再对此较真。欢迎感兴趣的读者进行更深入的验证。 最后提醒大家的是，红包主要还是在过年的时候图个喜庆，游戏有风险，抢包需谨慎。 9 冰桶挑战 2014年夏天，在世界十分火的冰桶挑战，是由美国肌萎缩性脊髓侧索硬化症协会（简称ALS协会）主持的一项公益募捐活动。它的规则非常简单，被点名的人可以选择将一桶冰水从自己的头顶泼下去，或者向任意一个关注ALS患者的协会捐赠善款。冰桶挑战通常要求被点名者在24小时之内完成挑战（或者进行捐赠），然后再点三个人接棒。这就像是一种病毒，越多的人完成挑战，就会有更多的人被点名。因此，还要多久才能让整个世界都完成冰桶挑战呢？让我们估算一下。 冰桶挑战模型： 在这种模型中，我们会作出下列假设： 某人完成了第一次冰桶挑战； 他选择了三个人接棒； 这三个人又各自选择了三个人接受同一挑战； 每一批被指定者都在被点名的两天后完成这一挑战（所有人完成的时间一致），没有人是拖延症患者； 被点名的每个人都是第一次接受冰桶挑战。 那么全世界的70亿人口都完成这一挑战，需要多久呢？也许为此建立一个数学模型并不是什么困难的事儿，如果将完成这一挑战的第一个人设定为n，然后开始循环，那么在一轮循环结束后，完成冰桶挑战的总人数将会是4n，那么70亿人完成挑战需要：，也就是说，不到35天全世界的人就可以完成冰桶挑战。事实上，在35天之内，完成这一挑战的总人数将远超过全世界的总人口数量。 事实上，这一种模式中，是存在着一些问题的，但是为了精确模拟冰桶挑战而作的一些微调其实是无关紧要的。不过无论如何，全世界的人最后都会被冰水覆盖的。 10 四爷送寿礼 假设今天皇阿玛生日，五位阿哥决定合送一份礼物。要是这五位阿哥出的黄金都相同，每个人拥有一样的决定权，唯有超过3人赞成，才能拍板定案要送啥。但要是出资不同，每位阿哥说话的份量就不一样了。 其中，四爷数学特别好，他想买一本流传在夷洲的超有趣数学科普