线性方程组的数值解法-安振华-2012011837.docxVIP

清华大学数学实验报告 实验5：线性方程组的数值解法 化学工程系 分2 安振华 2012011837 【实验目的】 1、掌握线性方程组的常用数值解法，包括高斯消去法、LU分解法以及校正法。 2、体验数值计算的时间复杂度和计算规模的关系。 3、加深对数值计算误差的理解。 4、学习使用迭代法等算法，求解非线性方程。 5、学习如何使用MATLAB解非线性方程组和方程组。 【实验内容】 【实验五：习题9】 种群的繁殖与稳定收获：种群的数量因繁殖而增加，因自然死亡而减少，对于人工饲养的种群（比如家畜）而言，为了保证稳定的收获，各个年龄的种群数量应保持不变，种群因雌性个体的繁殖而改变，为方便起见以下种群数量均指其中的雌性。 种群年龄记作k=1,2,…,n，当年年龄k的种群数量记作xk，繁殖率记作bk（每个雌性个体在1年繁殖的数量），自然存活率记作sk（sk=1-dk，dk为1年的死亡率），收???量记作hk，则来年年龄k的种群数量应为： 要求各个年龄的种群数量每年维持不变就是要使 （1） 若bk，sk已知，给定收获量hk，建立求各年龄的稳定种群数量xk的模型（用矩阵向量表示） （2） 设n=5，b1=b2=b5=0，b3=5，b4=3，s1=s4=0.4，s2=s3=0.6，如果要求h1~h5为500,400,200,100,100,求x1~x5 （3） 要使h1~h5均为500，如何达到？ 【分析】 为方便起见以下种群数量均指其中的雌性。我们并且有以下的假设： (1)雌性个体的繁殖率和存活率在特定的时间内是不变的。 (2)人工饲养的种群在质量和数量上是不受外界环境和资源的限制的。 (3)模型中不考虑人为的或是自然的灾害所造成的种群数量、繁殖率和存活率的变动。 (4)样本的量足够大使得每年新出生的个体数均为整数。 (5)模型中的种群按年龄进行分组。 【解答】 (1) 基于以上假设，要使各年龄种群数量每年维持不变即 依题意得 对上述方程组变换后得到 AX=H 其中， X=[x1,x2,x3,…,xn]T H=[0,h1,h2,…,hn-1]T 其解为X=A-1H 此式即为种群数量xk 的模型。 (2) MATLAB程序: clc;clear all; %按题给定的值赋予参数相应的值 s=[0.4,0.6,0.6,0.4]; b=[0,0,5,3,0]; h=[500,400,200,100,100]; n=5; %生成矩阵A A1=sparse(1,1:n,b,n,n); A2=-eye(n); A3=sparse(2:n,1:n-1,s,n,n); A=A1+A2+A3; %生成矩阵H H=[0,h(1:4)]; %求解X x=A\H; X=round(x) %对结果取整 运行结果： k12345hk500400200100100XK 848128921335601141  结果分析： 图像显示结果与前面分析大致相同，即圆桶在此过程做加速 结果分析： 其中x5=141h5=100，说明方程的解满足条件，计算正确。 (3) 在上述程序中，将矩阵h的值全赋为500，其他不做任何变化， MATLAB程序: clc;clear all; %按题给定的值赋予参数相应的值 s=[0.4,0.6,0.6,0.4]; b=[0,0,5,3,0]; h=[500,500,500,500,500]; n=5; %生成矩阵A A1=sparse(1,1:n,b,n,n); A2=-eye(n); A3=sparse(2:n,1:n-1,s,n,n); A=A1+A2+A3; %生成矩阵H H=[0,h(1:4)]; %求解X x=A\H; X=round(x) %对结果取整 运行结果： X1X2X3X4X51098138921835601-259 结果分析： 结果中X5 为负值，这显然是不可能的，这说明按题目中设定的前提条件是不可能使得h1,…，h5 均为500 的。 对于一个特定的生物物种，通过人工条件改变其繁殖率是相当困难的，但是可以通过改善养殖条件等方法增大物种的成活率。很显然， x1x2x3x4x5只要使得x5能够大于500，就肯定能满足题设条件。考虑到养殖的成本，在满x5≥500的情况下，使得k=15xk 最小，即可得到最优化的解。 MATLAB程序: clc;clear all; b=[0,0,5,3,0]; %按题中给定的值赋予参数以相应的值 h=[500,500,500,500,500];n=5; H=[0,h(1:4)];t=Inf; %生成矩阵H A1=sparse(1,1:n,b,n,n);