线性代数讲义(第一章).pptVIP

第一章 行列式;用消元法解二元线性方程组;得方程组的解为;为便于记忆，引入记号 ;主对角线;则当D≠0时，二元线性方程组的解为;三阶行列式的计算:;§2 n阶行列式的定义;例1 求下列排列的逆序数 ;（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积， 其中，行标均按自然顺序排列，列标为3阶排列， 当列标取遍所有的3阶排列后，就得到三阶行列 式代数和中的所有项； ;定义3;例 2 计算下三角形行列式 ;定义4 将一个排列中的两个数位置对调称为对换， 将相邻两个数位置对调称为相邻对换。;§3 行列式的性质;性质2 交换行列式的两行(列),行列式变号.;性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.;推论3 行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式为零．;性质4　若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和.;性质5　把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变．;1、行列式与其转置行列式的值相等；;计算行列式常用方法：利用行列式的性质把行列式化为上三角形行列式，从而求得行列式的值．;解;§4 行列式按行(列)展开 ; 在n阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列元素划去后，余下来的 n-1 阶行列式称为元素 aij 的余子式，记作 Mij。;;2、行列式按行(列)展开法则 ;例5;推论 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即;同理 ;关于代数余子式的重要性质 ; 证; n-1阶范德蒙德行列式;例 7 计算n+1阶行列式 ;练习： 计算n阶行列式;§5 Cramer法则 ;线性方程组 ;定理5 如果n元线性方程组 ;其中Dj是把系数行列式D中第 j列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即;考察二元线性方程组的消元解法;证明：在各方程两边分别乘以系数行列式第一 列各元素的代数余子式得：;令;例 8 解线性方程组;3、齐次线性方程组的相关定理 ;有非零解。;例 9 当 取何值时，齐次方程组