线性代数课件_第一章y.ppt

第一章 行列式;§1 逆序数与对换;标准次序：标号由小到大的排列。;一个排列的逆序数的计算方法：从前往后 或 从小到大;逆序数为奇数的排列称为奇排列。; 对换;二阶行列式，记作;对角线法则:;二元线性方程组 ;例. 解方程组;2. 三阶行列式;为三阶行列式, 记作;对角线法则：;例：;§2 n 阶行列式的定义;定义1： n! 项;例1：写出四阶行列式中含有因子;例2：;重要结论：;(2);(3) 对角行列式;(4) 副对角行列式;思考题;1.二阶三阶行列式;;3.三角形行列式;称 DT 为 D 的转置行列式。;性质1：行列式与它的转置行列式相等。;证明：设;一：基本性质 性质2：互换行列式的两行 ，行列式变号。;性质3：用非零数 k 乘行列式的某一行中 所有元素，等于用数 k 乘此行列式。;推论：若行列式有两行的元素对应成比 例，则行列式等于0 。;性质4：若某一行是两组数的和，则此行列式就等 于如下两个行列式的和。;;行列式关于行和列的三种运算;二：利用性质计算行列式：;;注：该例题也可通过列变换化成三角行列式。;例2：计算;40;例3：设;证明：利用行的运算性质 r 把;对 D 的前 k 行作运算 r，后 n 列作运算 c, 则有;例;思考题;思考题;§4 行列式按行（列）展开;定义1：在 n 阶行列式中，把元素;例如：;定理3：行列式等于它的任一行（列）的各元素与 其对应的代数余子式乘积之和，即;51;证明：分三种情况讨论，只对行来证明此定理。;(2);先把 D 的第 i 行依次与第 i –1行, 第 i –2行, ···, 第 1 行交换, 经过 i –1次行交换后得;再把 第 j 列依次与第 j–1列, 第 j–2列, ···, 第 1 列交换, 经过 j–1次列交换后得;(3) 一般情形, 考虑第 i 行;57;例;推论：行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的 对应元素的代数余子式乘积之和等于零， 即;综上，得公式;例12: 证明范德蒙德( Vandermonde )行列式;证明：用数学归纳法;(2) 设 n－1 阶范德蒙德行列式成立, 则;;有;例：;例：;解:;例：;D;71;例：;D;例：;D;76;§5 Cramer 法则;其中;证明：;再把 n 个方程依次相加，得;例1：设曲线;所以该线性方程组有唯一解;定理 1：;线性方程组;齐次线??方程组;定理2： ;例2：问 l 取何值时，齐次线性方程组;解：;例3: 求平面上两两不重合的三条直线;不妨设 ( x, y, 1) 是方程组(1)的解, 则它是方程组;其次,由三条直线相交于一点，故其中任意二条直线相交于一点, 所以非齐次线性方程组;习题课;2.计算;3.求行列式;当;方法二:;4. 设;5.计算;6.求解下列方程 (1);解:(1)将第2列加到第1列上得到 ;总结:n阶行列式常用的计算方法