解答高中数学一元二次方程需要注意的几个问题.docVIP

PAGE  PAGE 5 解答高中数学一元二次方程需要注意的几个问题 　　摘 要：一元二次方程是高中数学中的一个重要内容也是高考常考的热点之一，对于我们的高考也非常重要。新课标中这部分知识难度降低了，常以选择题、填空题、探究题形式呈现。为了在以后的学习中更加有效，所以做了如下总结。 　　关键词：高中数学;一元二次方程;问题 　　在我们的高中学习中，一元二次方程的内容非常多，结论也很多，所以解决的途径和思路很多。我们在解题过程中，如果想做到准确无误，就需要对方程中限定的条件多加考虑。为了我们能够学好一元二次方程，我们在学习过程中应当做到以下内容。 　　一、需要掌握的知识点 　　掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。对含有字母系数的一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围;掌握韦达定理及其简单的应用;会在实数范围内把二次三项式分解因式;会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题。 　　二、一元二次方程的内容分析 　　1.一元二次方程的根的判别式 　　一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac。当△0时，方程有两个不相等的实数根;当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△0时，方程没有实数根。 　　2.一元二次方程的根与系数的关系 　　（1）如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-b/a，x1x2=c/a 　　（2）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P，x1x2=q （3）以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x2-（x1+x2）x+x1x2=0。 　　3.二次三项式的因式分解（公式法） 　　在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是x1，x2，那么ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）。 　　三、注意二次项系数a≠0 　　一元二次方程是这样定义的，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫一元二次方程.可见，在二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a≠0是首先应满足的条件，解题时不应忽略。例如已???关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+1=0有实数根，则m的取值范围是多少？解析：由m-1 ≠0。且△=12-4x（m-1）x1≥0得m≤5/4且m≠1。例如若关于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0有一个根为0，则m的值为多少？解析：首先m-1≠0，即m≠1，然后把0带入得m2-3m+2=0，解得m=1或m=2，综上m=2。 　　四、要认真审题 　　注意一元二次方程有实根的必要条件是△≥0，在未点明方程次数（或根的个数）时要考虑（ a等于0与a不等于0 ） 　　例如，当m为何值时，关于x的一元二次方程x2+（2m-5）x+ m2-3m +3=0的两个实数根互为倒数？ 错解设该方程的两个实数根为x1 ，x2，由题意知x1x2= m2-3m +3，解得m=1或m=2。所以m=1或m=2时原方程的两个根互为倒数。剖析题设方程的两个实根互为倒数，当然所求结果应满足方程有两个实根的必要条件，即△=b2 -4ac=（2m-5）2-4（ m2-3m +3）≥0，解得m≤13/8。这样，m=2不合题意，应舍去。所以m=1时，原方程两个实根互为倒数。 　　五、 要善于构造一元二次方程解题 　　例如，如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2-2m=1，n2-2n=1求：代数式2m2+4n2-4n+1999的值。析解：因为m≠n，且满足m2-2m-1=0，n2-2n-1=0所以m、n是一元二次方程x2-2x-1=0的两个不相等的实数根，所以m+n=2，m?n=1所以2m2+4n2-4n+1999=2（m2+n2）+2（n2-2n-1）+2001=2[22-2×（-1）]+0+2001=2013 　　六、合作探究 　　1.解不等式：（x-2）2 （x-3）3 （x+1）0. 　　解：①检查各因式中x的符号均正;②求得相应方程的根为-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）;③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），④原不等式的解集为{x|-1x2或2x3}. 　　说明：∵3是三重根，∴在C处穿三次，2是二重根。∴在B处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧f（x）有相同因式（x-x 1）n，n为奇数时，曲线在x 1点处穿过数轴;n为偶数时，曲线在x 1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿”。 　　2.解不等式：（x-3）（x+1）（x 2 +4x+4）≤0 　　解