九点圆与费尔巴哈定理.docVIP

苏州大学本科生毕业设计 PAGE  PAGE 8 九点圆与费尔巴哈定理 预备知识 定理1 如图=s-a y=s-b，z=s-c。 证明：图表明内切圆和边BC，CA, AB在点X, Y, Z处相切。 AY=AZ, BZ=BX, CX=CY。依次用想，x，y，z表示这些线段，则 y+z=a, z+x=b，x+y=c。 半周长记住s，则x+y+z=s。由此可得结论。 定理2 三角形的每一条内角平分线把对边分成与邻边长度成比例的两条线段。 =，=， 因此 =。 3九点圆定理 三角形三边中点，三条高的垂足和三个欧拉点（连接三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆。 九点圆介绍 九点圆定理是几何学史上的一个著名问题,最早提出九点圆定理的是英国的Benjamin .Beven,问题发表在1804年的一本英国杂志上.第一个完全证明此定理的是法国数学家彭赛列.也有说是1820-1821年间由法国数学家热而工与彭赛列首先发表的.一位高中教师费尔巴哈也曾研究了九点圆,他的证明发表在1822年的《直边三角形的一些特殊点的性质》一文里,文中费尔巴哈还获得了九点圆的一些性质（如费尔巴哈定理），故有人称九点圆为费尔巴哈圆。 九点圆证明 如图中,B’ ,C’(三边中点) D, E, F(三边垂心) K, L,M （三条高线交点与顶点的中点 欧拉点） B’C’LM是矩形 A’B’KL是矩形 C’A’MK是矩形 因此A’K， B’L, C’M是同一个圆的三条直径。 因为A’DK是直角，这个圆（以A’K’为直径）经过D点。同理，点E和F也都是在这个圆上的！ 所以可以得到九点共圆！ 4，反演 下面的“位似变换”是斯泰纳在1830年发明的。如图1所示，给定一个以O为圆心，以R为半径的圆O，设P是不同于O的任意一点，则P的反演点定义为射线OP上的一点，它到O点的距离满足方程 OP×OP’=R 由定义可知，P使的反演点。因此，反演是周期为2的映射（我们所熟悉的中心对称和反射的周期也是2）。并且在反演圆O外部的每一点的反演点都在圆O的内部，反演把圆O的外部变成他的内部。圆O上的点是仅有的自反演点。 如果点P描出一条轨迹（例如，一条曲线），则点描出他的反演轨迹。特别是，以O为圆心，以r为半径的圆反演成半径为R/r的同心圆。 如果我们把O点本身去掉，则经过O点任意一条直线是它自己的反演像。（决不要把O点看作它自己的反演像，从而回避上面得附加条件；因为，如果把O点看作它自己的反演点，则反演就不再是连续变换了，这时只要P靠近O点，就会离得很远。） 设P是圆O内部的一点（P不在O点上）。考 虑 经 过 P 点，垂直于OP的弦TU，设是圆O在T,U两点的切线的交点。因为OPT∽OT，故点满足条件 =,OP×O=R 所以是P的反演点。 反过来，要作圆O外任意一点的反演点，只要画一个以O为直径的圆。若该圆与O相交于T和U，则的反演点P就是TU的中点（即TU与O的交点）。 反演的一些性质 反演变换定义：设在平面上给定了半径为r的圆O，若A′为过定点O的直线OA上一点，且有向线段OA与OA′满足OA·OA′=k(k为非零常数），则这种变换叫做关于⊙O（r）的反演变换，简称反演。称A′为A关于⊙O（r）的 HYPERLINK /view/1843371.htm \t _blank 反演点，同样，A为A′关于⊙O（r）的反演点；圆心O称为反演中心或反演极；圆半径r称为反演半径；⊙O（r）称为反演（基）圆。k称为反演幂，1）当k=r^2（r的平方）＞0时，有向线段OA与OA′同向，A与A′在反演极同侧，这种反演变换称为正幂反演，亦叫双曲线式反演变换；2）当k=-r^2＜0时，有向线段OA与OA′反向，A与A′在反演极异侧，这种反演变换称为负幂反演，亦叫椭圆式反演变换。在某一反演变换中相互对应的两个图形互为反演图形或反象。 　　·正幂反演的性质： 　　1、反演中心不存在反演点。不共线的两对反演点共圆，且此圆与反演基圆 HYPERLINK /view/935574.htm \t _blank 正交。与反演基圆正交的圆，其反象为原圆。 　　2、反演变换φ把通过反演中心O的任一条直线变成自身。即通过反演中心的任何直线都是该反演变换下的不变图形。（直线→直线） 　　3、反演变换φ把任一条不通过反演中心O的直线变成一个通过反演中心O的一个圆，而且这个圆周在点O的 HYPERLINK /view/36416.htm \t _blank 切线平行于该直线。（直线→圆） 　　4、反演变换φ把任一