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高中数学《必修1》知识汇编 §高初中衔接知识（补充） ★几个公式： ①，变： 【注】齐3次；a降幂b升幂；杨辉三角。 ② ③立方和： 立方差： 〖例〗化简：①； ②； ③已知：，求：的值； 因式分解：④； ⑤。 ★十字相乘法： 〖例〗①；②；③；④ 〖练习〗①；②；③； ④；⑤ ★一元二次方程： 【知识点】 1、根的情况：△0;=0;0；2、韦达定理：当时， 【题型】：⑴求两根的代数式的值：对称式；非对称式。 ⑵根的符号：①两个正根；②两个负根； ③一正一负根；④一零根；⑤两根相反数；⑥一根为 〖例1〗函数，求值域。 析：判别式法 〖例2〗一元二次方程有两个不相等的实根，求K的范围. 析： 〖例3〗已知x、y满足，试求：x、y的值 解：看成x的方程，有根，即 〖例4〗若是方程的两根， 求：①；②；③；④；⑤；⑥ 〖例5〗若，求 〖例6〗若t是一元二次方程的根，，，比较：△ M 析：作差，， 〖例7〗已知：关于x的方程两根的平方和为11，求a 〖例8〗已知：关于x的方程，问：⑴k取何值时，方程有两个正根； ⑵若方程两是矩形的两边，且对角线为，求k. ★解不等式： ★1、绝对值不等式： 〖例〗①；②； 〖变式〗 ★2、平方不等式： 〖例〗①；② 〖变式〗 ★3、一元二次不等式：图象法（口诀：大于的取两边，小于的夹中间）；符号法。 ⑴图象法：利用二次函数图象求解 -2 3 〖例〗①； ②； ③ 析：⑴由y=0得，即抛物线与x轴的交点的横坐标 ⑵由y0得，即抛物线在x轴上方的图象，所对应的x的范围 由图可知：⑶的解集为： 【推广】：全部情况如下表：只对a0研究，对a0的化为a0求解 x1 x2 X1=x2 无解R（恒成立）（无解或恒不成立）（无解或恒不成立）【注】1、先化为a0;2、口诀：大于的取两边，小于的夹中间；【总结】：由表可知，解一元二次不等式的三步骤： 〖例〗①；②；③；④ ⑵符号法： 【知识点】1、法则：两数相乘，同号得正，异号得负； 2、步骤：先因式分解；再据符号法则化为不等式组求解。 〖例〗①； ②； ③ 〖练习〗①； ②； ③ 【小结】两种方法的优劣：图象法，难理解，但直观，能直接写出解集；符号法，好理解，但不能直接写出解集，计算量增大，有些不等式组无解；建议都用图象法或第二种方法干脆不教，以免学生老用第二种方法。 ★4、高次不等式的解法----穿线法 〖引例1〗 析：三个一次式；当三正或一正两负时，不等式成立；三个零点，分四段； 三负 一正两负 两正一负 三正 〖引例2〗 析：这样无法直接画线，须变形为： - + + - 〖引例3〗① ② 【总结】穿线法的关键： ①先因式分解为一次式的积； ②画线时从最右边的上方向下穿过； ③偶次方的零点穿而不过； ④奇次方的看成一次方的。 〖练习〗①； ② ★5、分式不等式的解法： 【知识点】法一：解分式不等式应等价变形化为整式不等式来解；法二：符号法则法。 法一：； 法二：；注：若是的等价转换为什么？ 〖例〗①；②；③；④；⑤ ★一元二次不等式解集的含义： 【知识点】若已知二次不等式的解集，则有四重含义： ⑴a的符号可知；⑵相应方程的根可知；⑶韦达定理；⑷b、c的符号可知 〖例1〗不等式的解集为： 析：解集的端点为方程的根。 推广：若的解集为：，则：①可知a0；②是方程的根；③韦达定理：；④由③可得 〖例2〗设关于x的不等式的解集为，求ab 析：法一：把端点值代入，可求；法二：利用韦达定理可求； 〖例3〗二次不等式的解集为，求：不等式的解集 析：由解集含义可知a0,韦达定理可知 〖变式1〗二次不等式的解集为，求：不等式的解集 【结论】不等式与的两根互为倒数。 〖变式2〗，，⑴若，求a的范围；⑵若，求a的范围；⑶若，求a的范围； 〖变式3〗，且，求a的范围； ★含参的一元一次不等式： 【知识点】首项系数为参数则须讨论：（分=0；0；0） 〖例1〗已知，，，⑴若，求a的范围；⑵若，求a的范围；⑶A与B能相等？若能，求a,若不能，请说明理由； 解：⑴分三种情况： ①当a=0时，A=R，则成立； 2 ②当a0时，则，由得 2 ③当a0时，则由得 综上得：当时a的范围为 ⑵分三种情况：①当a=0时，显然； 2 ②当a0时，由得 2 ③当a0时，由得 综上得：当时，a的范围为 ⑶当且仅当A、B互为包含时，A=B，由⑴、⑵得 a=2 〖练习〗，，且，求a的范围 解： 当a=0时，B=R，成立 当a0时，，由得 当a0时，，显然不成立 综上得， ★含参的一元二次不等式： 〖例1〗解不等式： 析：， 〖例2〗解不等式： 解：原不等式可化为： ⑴当a=0时，原不等式可化为：，，则解集为 ⑵当a0时，，则解集