解析几何例题解答.docVIP

例.1．［08天津卷（15）］ 已知圆C的圆心与点关于直线对称．直线与圆C相交于两点，且，求圆C的方程为。 解：设圆心为C（a,b），半径为r，则有，解得C（0，－1）， 于是圆心C到直线的距离为d=3，所以有， 故所求的圆C的方程为　。 例2．［08四川卷（21）］设椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线为，是上的两个动点，。 （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）证明：当取最小值时，与共线。 【解】：由与，得 ，的方程为, 设 则,由得 ① （Ⅰ）由，得 ②, ③ 由①、②、③三式，消去，并求得,故 （Ⅱ） 当且仅当或时，取最小值, 此时，, 故与共线。 【点评】：此题重点考察椭圆中的基本量的关系，进而求椭圆待定常数，考察向量的综合应用； 【突破】：熟悉椭圆各基本量间的关系，数形结合，熟练地进行向量的坐标运算，设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中的灵活应用。 例4．（08江西卷21）设点在直线上，过点作双曲线的两条切线，切点为，定点.（1）求证：三点共线。 （2）过点作直线的垂线，垂足为，试求的重心所在曲线方程. 证明：（1）设，由已知得到，且，，设切线的方程为：由，得　 从而,解得， 因此的方程为：，同理的方程为： 又在上，所以，，即点都在直线上，又也在直线上,所以三点共线。 （2）垂线的方程为：，由得垂足，设重心，所以 解得， 由 可得即为重心所在曲线方程。 例5．（08山东卷22) (本小题满分14分) 如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为 直线y=－2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B. （Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列； （Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，，求此时抛物线的方程； （Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由. （Ⅰ）证明：由题意设由得，则 所以 因此直线MA的方程为直线MB的方程为 所以 ①, ② 由①、②得　， 因此　，即所以A、M、B三点的横坐标成等差数列. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x0=2时， 将其代入①、②并整理得： 　　　所以　x1、x2是方程的两根， 因此 又 所以 由弦长公式得 　　又， 所以p=1或p=2， 因此所求抛物线方程为或 （Ⅲ）解：设D(x3,y3)，由题意得C(x1+ x2, y1+ y2), 则CD的中点坐标为 设直线AB的方程为由点Q在直线AB上，并注意到点也在直线AB上，代入得若D（x3,y3）在抛物线上，则　　　因此　x3=0或x3=2x0. 即D(0，0)或 （1）当x0=0时，则，此时，点M(0,-2p)适合题意. （2）当，对于D(0，0)，此时　又AB⊥CD， 所以， 即矛盾. 对于因为此时直线CD平行于y轴，又 所以　直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，所以时，不存在符合题意的M点. 综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意. 例6．［08湖北卷（19）］如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点. （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程； （Ⅱ）设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、.若△的面积不小于，求直线斜率的取值范围. （Ⅰ）解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依题意得 ｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝＜｜AB｜＝4. ∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设实平轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则c＝2，2a＝2，∴a2=2,b2=c2-a2=2.∴曲线C的方程为. 解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜｜AB｜＝4. ∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设双曲线的方程为＞0，b＞0）. 则由解得a2=b2=2, ∴曲线C的方程为 (Ⅱ)解法1：依题意，可设 直线l的方程为y＝kx+2， 代入双曲线C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0. ∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，∴ ， ∴k∈（-,-1）∪（-1，1）∪（1，）.设E（x，y），F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=,于是｜EF｜＝＝＝。而原点O到直线l的距离d＝， ∴S△DEF= 若△OEF面积不小于2,即S△OEF，则有 ③ 综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1]∪(1-,1) ∪(1, ). 解法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1-k2）x2-4kx-6=0. ∵