高中数学复习学(教)案(第55讲)空间向量及其运算.docVIP

高中数学复习教（学）案　　　　　　　　 新疆奎屯市第一高级中学　王新敞 源头学子小屋  HYPERLINK /wxc/ http://wwwxjktygcom/wxc/　  HYPERLINK mailto:wxckt@126.com wxckt@126com 第 PAGE 11页 共 NUMPAGES 11页 题目 第九章(B)直线、平面、简单几何体空间向量及其运算 高考要求 1理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘 2了解空间向量的基本定理； 3掌握空间向量的数量积的定义及其性质； 4理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念 5 握空间向量平行、垂直的条件及三个向量共面及四点共面的条件 知识点归纳 1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算 空间向量的加法、减法与数乘向量运算： ;; 运算律：⑴加法交换律： ⑵加法结合律： ⑶数乘分配律： 3 平面向量共线定理 方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使＝λ 4 共线向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作． 当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线． 5． 共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数λ，使＝λ 推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式 ．其中向量叫做直线的方向向量 6空间直线的向量参数表示式： 或， 中点公式． 7．向量与平面平行：已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的 8．共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使 推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使 ① 或对空间任一点，有② 或 ③ 上面①式叫做平面的向量表达式 9 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使 若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使 10 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作： 11．向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作： 12．向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即． 已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影 的长度． 13．空间向量数量积的性质： （1）．（2）．（3）． 14．空间向量数量积运算律： （1）．（2）（交换律）． （3）（分配律） 题型讲解 例1 证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得=x+y +z 分析：要寻求四点A、B、C、D共面的充要条件，自然想到共面向量定理 解：依题意知，B、C、D三点不共线，则由共面向量定理的推论知：四点A、B、C、D共面对空间任一点O，存在实数x1、y1，使得=+x1 +y1=+x1（－）+y1（－）=（1－x1－y1）+x1+y1，取x=1－x1－y1、y=x1、z=y1，则有=x+y+z，且x+y+z=1 点评：向量基本定理揭示了向量间的线性关系，即任一向量都可由基向量唯一的线性表示，为向量的坐标表示奠定了基础共（线）面向量基本定理给出了向量共（线）面的充要条件，可用以证明点共（线）面本题的结论，可作为证明空间四点共面的定理使用 例2 在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离 解：如下图，因为∠ACD=90°， 所以· =0 同理，·=0 因为AB与CD成60°角， 所以〈，〉=60°或120° 因为=＋＋， 所以2=2＋2＋2＋2·＋2· ＋2·=2＋2＋2＋2· =3＋2×1×1×cos〈，〉=2或， 所以｜｜=2或， 即B、D间的距离为2或 例3 在棱长为1