高中数学复习学(教)案(第61讲)简单多面体与球.docVIP

高中数学复习教（学）案　　　　　　　　 新疆奎屯市第一高级中学　王新敞 源头学子小屋  HYPERLINK /wxc/ http://wwwxjktygcom/wxc/　  HYPERLINK mailto:wxckt@126.com wxckt@126com 第 PAGE 12页 共 NUMPAGES 12页 题目 第九章(B)直线、平面、简单几何体简单的多面体与球 高考要求 　　1了解多面体、凸多面体的概念 了解正多面体的概念，知道欧拉公式和五种正多面体的顶点数、面数及棱数 2要使学生理解两点的球面距离，掌握球的表面积及球的体积公式、求球面面积、球的体积及两点的球面距离 3球是最常见的几何体高考对球的考查主要在以下四个方面：（1）球的截面的性质；（2）球的表面积和体积；（3）球面上两点间的球面距离；（4）球与其他几何体的组合体而且多以选择题和填空题的形式出现第（4）方面有时用综合题进行考查 知识点归纳 1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体 说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体 2．五种正多面体的顶点数、面数及棱数： 正多面体顶点数面数棱数正四面体446正六面体8612正八面体6812正十二面体201230正二十面体1220303．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数、面数及棱数有关系式： 计算棱数E常见方法：(1)E＝V+F-2；(2)E＝各面多边形边数和的一半； (3)E＝顶点数与共顶点棱数积的一半 4．欧拉示性数：在欧拉公式中令，叫欧拉示性数 说明：（1）简单多面体的欧拉示性数 （2）带一个洞的多面体的欧拉示性数 例如：长方体挖去一个洞连结底面相应顶点得到的多面体 5 球的概念： 与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球定点叫球心，定长叫球的半径与定点距离等于定长的点的集合叫做球面一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球 2．球的截面： 用一平面去截一个球，设是平面的垂线段，为垂足，且，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以为半径的一个圆，截面是一个圆面 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆 7．经度、纬度： 经线：球面上从北极到南极的半个大圆 纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆 经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数 纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数 8．两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离 (为球心角的弧度数) 9 半球的底面： 已知半径为的球，用过球心的平面去截球，球被截面分成大小相等的两个半球，截面圆（包含它内部的点），叫做所得半球的底面 10．球的体积公式： 11其它： ①在应用球体积公式时要注意公式中给出的是球半径R，而在实际问题中常给出球的外径（直径） ②球与其它几何体的切接问题，要仔细观察、分析、弄清相关元素的位置关系和数量关系，选择最佳角度作出截面，以使空间问题平面化 题型讲解 例1 一个正多面体各个面的内角和为，求它的面数、顶点数和棱数 解：由题意设每一个面的边数为,则， ∴， ∵，∴, 将其代入欧拉公式,得,设过每一个顶点的棱数为, 则，得 , 即 （1）, ∵，∴,又， ∴的可能取值为，,, 当或时（1）中无整数解； 当,由（1）得, ∴, ∴， 综上可知:，， 例2 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为 A4 B2 C2 D 解法一：过O作OO′⊥平面ABC，O′是垂足，则O′是△ABC的中心，则O′A=r=2，又因为∠AOC=θ=，OA=OC知OA=AC2O′A其次，OA是Rt△OO′A的斜边，故OAO′A所以O′AOA2O′A因为OA=R，所以2R4因此，排除A、C、D，得B 解法二：在正三角形ABC中，应用正弦定理，得AB=2rsin60°=2 因为∠AOB=θ=，所以侧面AOB是正三角形，得球半径R=OA=AB=2 解法三：因为正三角形ABC的外径r=2，故高AD=r=3，D是BC的中点 在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=，所以BC=BO=R，BD=BC=R 在Rt△ABD中，AB=BC=R，所以由AB2=BD2+AD2，得R2=R2+9，所以R=2 点