初一寒假第一讲整除带余除法.docVIP

第一讲 整除 带余除法 板块1 数论中的基本概念和常识 质数 合数 整除 约数 倍数 互质 进位制定义略。质数是数论中第一重要的概念。 算数基本定理：整数分解的唯一性。1不是质数，因为破坏了这个唯一性。定理叙述如下： 任何大于1的整数a能唯一地写成 （1） 的形式，其中都是质数.式（1）被称为a的标准分解式。 【例】证明：若，则 【例】（1）求2010的标准分解式 2×5×3×67 （2）求2011的标准分解式 质数 （3）求2012的标准分解式 22×503 【例】如果自然数使得和都恰好是平方数，试问能否是一个素数． 【解析】如果，，则 ． 因为，否则，将有，并且 ．而这是不可能的．故不是素数． 判定质数很困难，判定合数的方法是分解。 (1)若b|c且c|a，则b|a (传递性)； (2)若b|a且b|c，则。若反复运用这一性质，易知对于任意的整数u,v有。有时候要想知道a|b是否成立，只需考察a|db+ca是否成立。这里的c,d是适当选取的。 (较高级技巧) 【例】我们想知道一个数是不是7的倍数，可以用34675（截掉末三位）减去676（末三位），看看差是不是7的倍数，这是为什么？更彻底的，我们想知道5740376987465是不是7的倍数，可以去计算465-987+376-740+5是不是7的倍数。 【例】已知一个七位自然数是的倍数(其中、是阿拉伯数字)，试求之值，简写出求解过程． 【解析】由知且 ①，所以是的倍数，所以(是自然数) 由，，可得，从而或； ②，所以，所以(是整数) 又，即，所以或， 因为与同奇同偶性，所以或，即或(舍去)， (3)若b|a，则或者a=0，或者，因此若a|b且b|a，则；1整除任何整数，任何非0整数整除0。这里相当于提供了证明两数相等的一个方法。 (4)a,b互质，若a|c,b|c，则ab|c； 这个性质的意义是，满足整除条件的除数变大了，被除数不变，整除条件变得更强。 【例】某公园门票价格对达到一定人数的团队按团队票优惠．现有A、B、C三个旅游团共72人，如果各团单独购票，门票费依次为360元、384元、480元；如果三个团合起来购票，总共可少花72元． (1)这三个旅游团各有多少人? (2)在下面填写一种票价方案，使其与上述购票情况相符． 售 票 处 普通票 团体票(须满 人) 每人 每人  【解析】360+384+480－72=1152(元)， 1152÷72=16(元／人)，即团体票是每人16元． 因为16不能整除360，所以A团未达到优惠人数． 若三个团都未达到优惠人数，则三个团的人数比为360：384：480=15：16：20，即三个团的人数分别为，这都不是整数(只要指出其中某一个不是整数即可)，不可能．所以C团本来就已达到优惠人数． 这有两种可能：①只有C团达到；②B、C两团都达到． 对于①，可得C团人数为480÷16=30，A、B两团共有42人，A团人数为15/31×42，不是整数，不可能． 刘于②，可得B团人数为384÷16=24， C团人数为480÷16=30 A团18人 售 票 处 普通票 团体票(须满20人) 每人20元 每人16元(或／或8折优惠) 【例】是否存在3个大于1的自然数，使得其中每个自然数的平方减1，能分别被其余的每个自然数所整除？ 【解析】设a≥b≥c是满足题设条件的三个自然数．因为a2－1被b整除，所以a与b互素．又c2－1能分别被a、b整除，因而被ab整除，于是c2－1≥ab．另一方面由a≥c及b≥c得ab≥c2，矛盾．所以满足题设的数不存在． 【例】已知、都是大于的自然数，并且和都是整数，问的值是多少？ 【解析】运用排序思想，不妨设大于等于，则为大于小于的整数，为，则，化为，则，结果为． a|bc, a,b互质，则a|c 这个性质的意义是：需要讨论的被除数变小了，整除条件变得更强。 【例】可将这个整数写成一行，使得由第二个数开始的每个数都是它前面所排列的所有数之和的约数．则排在第个位置上的数最大应是 ． 【解析】的和为，设排在第30位的数为，由题意被整除，即被整除.显然不能为或的倍数，因此最大为，而这也是可以达到的，将排列为 即可． 【例】已知，其中，，代表非数字．那么 ． 【解析】根据个位数字分析可知或，代入试验可得， 此时有，即可得． (5) p 是质数，若，则p能整除中的