04第4节实对称矩阵的对角化.docVIP

第四节 实对称矩阵的对角化 一个阶矩阵具备什么条件才能对角化？这是一个比较复杂的问题. 本节我们仅对为实对称矩阵的情况进行讨论. 实对称矩阵具有许多一般矩阵所没有的特殊性质. 分布图示 ★ 实对称矩阵的性质 ( 1 ) ★ 实对称矩阵的性质 ( 2 ) ★ 对称矩阵对角化的方法 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题4-4 内容要点 定理1 实对称矩阵的特征值都为实数. 注: 对实对称矩阵，因其特征值为实数, 故方程组 是实系数方程组, 由知它必有实的基础解系, 所以的特征向量可以取实向量. 定理2 设是对称矩阵的两个特征值, 是对应的特征向量. 若, 则与正交. 定理3 设为阶实对称矩阵,是的特征方程的重根,则矩阵的秩,从而对应特征值恰有个线性无关的特征向量. 定理4 设为阶实对称矩阵, 则必有正交矩阵,使 , 其中是以的个特征值为对角元素的对角矩阵. 与上节将一般矩阵对角化的方法类似，根据上述结论，可求正交变换矩阵将实对称矩阵对角化的步骤为： (1) 求出的全部特征值; (2) 对每一个特征值, 由求出基础解系（特征向量）; (3) 将基础解系（特征向量）正交化；再单位化; (4) 以这些单位向量作为列向量构成一个正交矩阵，使 . 注：中列向量的次序与矩阵对角线上的特征值的次序相对应. 例题选讲 例1 (E01) 设实对称矩阵 求正交矩阵P, 使为对角矩阵. 解 矩阵的特征方程为 当时，由得基础解系 当时，由得基础解系 当时，由得基础解系 不难验证是正交向量组,把单位化，得 令 则 例2 (E02) 设有对称矩阵 试求出正交矩阵P, 使为对角阵. 解 对由 基础解系 对由 基础解系 与恰好正交，所以两两正交. 再将单位化，令 得 故所求正交矩阵 且 例3 已知(其中)有一特征值为1, 求正交矩阵使得 为对角矩阵. 解 的特征多项式为 由于有特征值1，故有两种情形: 若则若则 但所以只能是从而得的特征值为 对由得基础解系 对由得基础解系 对由得基础解系 因实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必相互正交, 故特征向量已是正交向量组，只需单位化: 令 则 例4 设, 求 解 因对称，故可对角化, 即有可逆矩阵及对角阵使于是 由得的特征值于是 对应由解得对应特征向量 对应由解得对应特征向量 令求出 于是 课堂练习 1. 设实对称矩阵 试求出正交矩阵P, 使为对角阵. 2. 设n阶实对称矩阵A满足,且A的秩为, 试求行列式的值.