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 PAGE  论文题目: 压缩感知理论简介 学 院： 计算机与信息学院 专业年级： 电子信息工程2010级 学 号： 姓 名： 指导教师、职称： 2012年 11 月15日  PAGE 4 压缩感知理论简介 摘 要 由D.Donoho、E.Candes及华裔科学家T. Tao等人提出的压缩感知(压缩传感，Compressive Sensing, Compressed sensing)理论是近年来信号处理领域诞生的一种新的信号处理理论。经典的香农采样定理认为, 为了不失真地恢复模拟信号, 采样频率应该不小于奈奎斯特频率的两倍。但是其中除了利用到信号是有限带宽的假设外, 没利用任何的其它先验信息，采集到的数据存在很大程度的冗余，浪费了大量的传感元、时间和存储空间。压缩感知的基本论点是如果信号具有稀疏性, 可投影到一个与变换基不相关的随机矩阵并获得远少于信号长度的测量值, 再通过求解优化问题, 精确重构信号。充分运用了大部分信号在预知的一组基上可以稀疏表示这一先验信息, 利用随机投影实现了以远低于奈奎斯特采样速率采样信号。本文详述了压缩感知的基本理论,关键要素，应用前景以及成果展示。 关键词： 压缩感知；稀疏表示；测量矩阵；重构算法 HYPERLINK /view/1710563.htm现代信号处理的一个关键基础是 Shannon 采样理论：一个信号可以无失真重建所要求的离散样本数由其带宽决定。但是Shannon 采样定理是一个信号重建的充分非必要条件。压缩感知，又称压缩采样，压缩传感。它作为一个新的采样理论，它通过开发信号的稀疏特性，在远小于Nyquist 采样率的条件下，用随机采样获取信号的离散样本，然后通过非线性重建算法完美的重建信号。[1]压缩感知理论的核心思想主要包括两点。第一个是信号的稀疏结构。传统的Shannon信号表示方法只开发利用了最少的被采样信号的先验信息，即信号的带宽。但是，现实生活中很多广受关注的信号本身具有一些结构特点。相对于带宽信息的自由度，这些结构特点是由信号的更小的一部分自由度所决定。换句话说，在很少的信息损失情况下，这种信号可以用很少的数字编码表示。所以，在这种意义上，这种信号是稀疏信号（或者近似稀疏信号、可压缩信号）。另外一点是不相关特性。稀疏信号的有用信息的获取可以通过一个非自适应的采样方法将信号压缩成较小的样本数据来完成。理论证明压缩感知的采样方法只是一个简单的将信号与一组确定的波形进行相关的操作。这些波形要求是与信号所在的稀疏空间不相关的。压缩感知方法抛弃了当前信号采样中的冗余信息。它直接从连续时间信号变换得到压缩样本，然后在HYPERLINK /view/162096.htm数字信号处理中采用优化方法处理压缩样本。这里恢复信号所需的优化算法常常是一个已知信号稀疏的欠定线性逆问题。 一、压缩感知理论基本原理 图1 压缩感知数据采集方式示意图[2] 与传统编解码理论相比，压缩感知理论对信号的采样、压缩编码发生在同一个步骤，利用信号的稀疏性，以远低于Nyquist 采样率的速率对信号进行非自适应的测量编码。测量值并非信号本身，而是从高维到低维的投影值，从数学角度看，每个测量值是传统理论下的每个样本信号的组合函数，即一个测量值已经包含了所有样本信号的少量信息。解码过程不是编码的简单逆过程，而是在盲源分离中的求逆思想下，利用信号稀疏分解中已有的重构方法在概率意义上实现信号的精确重构或者一定误差下的近似重构，解码所需测量值的数目远小于传统理论下的样本数。假设有一信号f()，长度为N，基向量为Ψi（ｉ＝1，2，…，N），对信号进行变换： 或 （1） 显然f 是信号在时域的表示，a是信号在Ψ 域的表示。信号是否具有稀疏性或者近似稀疏性是运用压缩感知理论的关键问题，若式（１）中的a只有k个非零值（ＮＫ），且经排序后按指数级衰减并趋近于零，可认为信号是稀疏的。信号的可稀疏表示是压缩感知的先验条件。在已知信号是可压缩的前提下，压缩感知过程可分为两步： 1）设计一个与变换基不相关的Ｍ×Ｎ（ＭＮ）维测量矩阵对信号进行观测，得到Ｍ 维的测量向量。 2）由Ｍ 维的测量向量重构信号。 压缩感知的核心思想是压缩和采样合并进行，并且测量值远小于传统采样方法的数据量，突破了香农采样定理的瓶颈，使高分辨率的信号采集成为可能。 压缩感知理论主要包括信号的稀疏表示、随机测