数学周报杯2009年全国初中数学竞赛试题及答案数学周报杯2009年全国初中数学竞赛试题及答案.docVIP

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里不填、多填或错填都得0分） ，则等于（ ）． （A）－1 （B）0 （C）1 （D）2 【答】C． 解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为，于是，从而＝1． 2．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（ ）． （A） （B） （C）1 （D）2 【答】A． 解：因为△BOC ∽ △ABC，所以，即 ， 所以， ． 由，解得． 3．将一枚六面编号分别为16的质地均匀的正方体骰子，第二次掷出的点数为，则使关于x，y的方程组 只有正数解的概率为（ ）． （A） （B） （C） （D） 【答】D． 解：当时，方程组无解． 当时，方程组的解为 由已知，得即或 由，的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得 共有 5×2＝10种情况；或共3种情况． 又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为． 4．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，. 动点P从点 B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y. 把y看作x的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC的面积为（ ）． （A）10 （B）16 （C）18 （D）32 【答】B． 解：根据图像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，进而求得AB＝8，故 S△ABC＝×8×4＝的整数解（x，y）的组数为（ ）． （A）2组 （B）3组 （C）4组 （D）无穷多组 【答】C． 解：可将原方程视为关于的二次方程，将其变形为 ． 由于该方程有整数根，则判别式≥，且是完全平方数． 由 ≥， 解得 ≤．于是 0 1 4 9 16 116 109 88 53 4 显然，只有时，是完全平方数，符合要求． 当时，原方程为，此时； 当y＝－4时，原方程为，此时． 所以，原方程的整数解为 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 3750． 解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为.又设一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有 两式相加，得 ， 则 ． 7．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则的值为 ． 解：如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF ． 由题设知，，在△FHA和△EFA中， ， 所以 Rt△FHA∽Rt△EFA， . 而，所以. 8．已知是满足条件的五个不同的整数，若是关于x的方程的整数根，则的值为 ． 【答】 10． 解：因为，且是五个不同的整数，所有也是五个不同的整数． 又因为，所以 ． 由，可得． 9．如图，在△ABC中，CD是高，CE为的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于 ． 【答】． 解：如图，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25 ． 故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，且． 作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，由，得CF＝x，于是BF＝20－x．由于EF∥AC，所以 ， 即 ， 解得．所以． 10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所