小学奥数数论第三讲.docVIP

数论第三讲 内容概述 具有相当难度，需要灵活运用各种整数知识，或与其他方面内容相综合的数 典型问题 2. 有3个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个3个自然数的和的最小值是多少? 【分析与解】 设这三个自然数为A，，，且×，B×,C=×，当、、c均是质数时显然满足题意，为了使A，B，C的和最小，则质数、应尽可能的取较小值，显然当、、为2、3、5时最小，有A2×3=6, B=3×5=15，C=5×2=10． 于是，满足这样的3个自然数的和的最小值是6+15+1031． 4. 对于两个不同的整数，如果它们的积能被和整除，就称为一对“好数”，例70与30．那么在1，2，…，16这16个整数中，有“好数”多少对? 【分析与解】 设这两个数为、，且，有×(+)，即 当=2时，有，即(2)×(-2)=22=4，，但是要求≠．所以只有满足； 当=3时，有，即(3)×(-3)=32=9，，但是要求≠．所以只有满足；…… 逐个验证的值，“好数”对有3与6，4与12，6与12，10与15．所以“好数”对4个. 6．甲、乙两人进行下面的游戏：两人先约定一个自然数，然后由甲开始，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中的一个填入图281的某个方格6个方格都N整除，那么乙获胜；如N整除，那么甲获胜．设小于15，问当取哪几个数? 【分析与解】 当取2，4，6，8，10，12，14这7个偶数时，当甲将某个奇数放 而当N取5时，当甲在最右边的方格内填人一个非0非5的数字时，则这个5整除，所以此时乙无法获胜： 此时还剩下1，3，7，9，11，13这6个数， 显然当取l时，乙一定获胜； 当N取3或9时，只要数字对应是3或9的倍数时，这个六位数就能被对应3或9整除，显然乙可以做到； 当取7，1l或13时，只要前三位数字和与后三位数字和的差对应是7，1113的倍数时，这个六位数就对应是7，11，13的倍数，乙可以做到． 于是，当取1，3，7，9，11，13时，乙适当的操作能保证自己一定获胜． 8. 已知与的最大公约数是12，与的最小公倍数是300，与的最小300．那么满足上述条件的自然数，，共有多少组? 【分析与解】 300=12×，是、的倍数，而12是、的最大公约数，所、有5种可能，即 12 12×5 12× 12 12 12 12 12 12×5 12× 由于、中总有一个为12，则=××，其中x可以取0、12中的任意可以取0、1中的任意一个，这样满足条件的自然数、、共有5×3×2=30组．10．圆周上放有枚棋子，如图282所示，点的那枚棋子紧邻A点的棋洪首先拿走B点处的1枚棋子，然后沿顺时针方向每隔1枚拿走2枚棋子，这10周，9次越过A．当将要第10次越过处棋子取走其他棋子时，小洪发14的倍数，请精确算出圆周上现在还有多少枚? 【分析与解】 设圆周上余枚棋子，从第9次越过A处拿走2枚棋子到第10A处子时，小洪拿了2枚棋子，所以在第9次将要越过A处棋子时，圆3枚棋子． ． 依次类推，在第8次将要越过A处棋子时，圆周上有32枚棋子，…，在第1次A处棋子时，圆周上有3枚棋子，在第1次将要越过A处棋子之间，小洪拿2(3-1)+枚棋子，所以N=2(31)+1+3=310-1． N=3-1=59049-l是14的倍数，是2和7的公倍数必须是奇数；又N=(7×8435+4) -1=7×8435+4-1，所以41必须是7的倍数． 当=21，25，27，29时，41不是7的倍数，当=23时，41=91=7×13,是7的倍数． 所以．圆周还有23枚棋子． 12．是否存在一个六位数A，使得A，2A，3A，…，500000A中任意一个数的6个数码不全相同? 【分析与解】 显然A的个位数字不能为偶数，不然500000A的后6位000,000； 而A的个位数字也不能为5，不然200，000A的后6位为000，000． 于是A的个位数字只能为1，3，7，9． 对于任何一个六位数A(个位数字为1，3，7，9)，均存在六位数×A≡111,111(mod 1,000,000). 如果存在500,000,使得×A≡111,111 (mod 1,000,000),那么那个A即为题中所求的值.(说明见评注) 当=999,999,有A=888,889时, A=888,888,111,111,显然满足上面的条件. 所以888,889即为所求的A. 评注：如果存在 50000，使得×A111，1