第三章微分中值定理及其应用汇编.doc

微分中值定理及其应用 3.1 中值定理 3.1.1 费马引理 设函数在点处可导且在点处取得极值，则。 备注：费马引理实质上是可导函数极值存在的必要条件。 3.1.2 罗尔定理 设函数在上连续，上可导，且，则至少存在一点，使得。 罗尔定理的三个条件缺一不可。 罗尔定理的几何意义是曲线存在水平切线。 罗尔定理只给出了导函数零点的存在性，通常这样的零点是不易具体求出的。 例1：设函数在上连续，在上可导， ，。证明：至少存在一点，使得。 例2：设函数在上连续，，且在内可导，试证：对任意的实数，存在一点，使得 例3：设函数在上具有二阶导数，且，。证明：（1）至少存在一点，使得 至少存在一点，使得。 例4：设满足 证明：方程在内至少有一个实根。 例5：设函数，在上连续，在内二阶可导且存在相等的最大值，又。证明： 存在，使得； 存在，使得。 例6：设函数在上连续，在内可导。证明：若， 时，存在点，使得。 3.1.3 拉格朗日中值定理（微分中值定理） 设函数在上连续，上可导，则至少存在一点，使得或者。 微分中值定理的两个条件缺一不可。 微分中值定理的几何意义：曲线上存在一点的切线平行于由点与点连结成的弦。 微分中值定理揭示了函数在闭区间上的整体平均变化率等于函数在上局部某点的瞬时变化率，它是连接整体与局部的桥梁。 罗尔定理可以看成是微分中值定理的一个特殊情况。 微分中值定理的具体公式： 推论： ①若函数在区间上的导数恒为零，则在上恒为常数。 ②若函数、在区间上恒有，则在上有 ，其中为常数。 例7：下列四个命题中正确的是（） （A）若在内连续，则在内有界。 （B）若在内连续，则在内有界。 （C）若在内有界，则在内有界。 （D）若在内有界，则在内有界。 例8：证明： 当时， 当时，。 对任意自然数，有。 例9：设，求 例10：设，为函数在区间上应用拉格朗日中值定理得到的中值，求极限。 例11：假设函数和在上存在二阶导数并且 。证明：（1）在内。（2）在 内至少存在一点，使得。 例12：已知函数在上连续，在内可导，且 。证明：（1）存在，使得；（2）存在两个不同的点，使得。 3.1.4 柯西中值定理 设函数与在上连续，在内可导，且在内的任一点均有，则至少存在一点，使得 柯西中值定理是针对两个函数而言的。 柯西中值定理不能看成为两个函数应用拉格朗日中值定理的商。 当时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理，因此柯西中值定理称为广义的中值定理。 例13：证明：设，函数在上连续，在内可导，则在内至少存在一点，使得 例14：设，试证至少存在一点，使得 例15：设函数在上连续，在内可导，， ，。证明：存在使得，且 例16：设函数在上连续，在内可导，且。 证明：存在，使得。 3.2 洛必达法则 3.2.1 两种基本未定式 “”型 若函数满足下列条件： ①当时，函数 ②在点的某去心领域内有存在，且 ③存在（或为） 则 （2）“”型 若函数满足下列条件： ①当时，函数 ②当充分大时有存在，且 ③存在（或为） 则 备注： 应用洛必达法则之前一定要先检验极限是否为未定式。 具体的解题过程中洛必达法则可能不止使用一次，一直使用到不能使用为止。 洛必达法则求极限之前要先对式子进行恒等变形或者等价无穷小替换将式子进行简化，然后利用洛必达法则。 运用洛必达法则求极限，若不存在且不为，则只能说明洛必达法则失效，不意味着原函数的极限不存在。 当时，，且速度依次递增。即 （人，妖，神） 3.2.2 其他类型未定式 “”型： 方法：倒下去，使之成为“”或者“” “”型： 方法：①通分；②根式有理化；③倒代换（提因子+变量代换） “，，”型： 方法：化成以为底，然后转化成基本未定式求极限。 例17：求极限 例18：求极限： （2）（3）（4） 例19：求 例20：若均为常数，则= 例21：试确定常数的值，使得，其中是当时比高阶的无穷小。 例22：已知在内可导，且， ，求的值。 3.3 泰勒公式 设函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数，则对于任意一点有 ， 其中，（介于与之间），则称是按的幂展开的阶泰勒公式。 称为拉格朗日型余项。 称为皮亚诺型余项。 麦克劳林公式： 求函数的阶泰勒公式的方法：①直接法；②间接法。 常见函数的麦克劳林公式 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 例23：设在处阶可导，，则~ 。 例24：求极限 例25：设函数在上具有三阶连续导数，且，，，证明：在内至少存在一点使。 例26：设且，证明：。 例27：设函数在上连续，在内具有二阶连续