考点2 正、余弦定理的应用举例考点2 正、余弦定理的应用举例.docVIP

温馨提示： 高考题库为Word版，请按住Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。 考点2 正、余弦定理的应用举例 2010年考题 1.（2010·陕西高考理科·Ｔ１7）如图，A，B是海面上位于东西方向相距 海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？ 【解析】 2.（2010·陕西高考文科·Ｔ１7）在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长. 【解析】在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得cos=, ADC=120°, ADB=60° 在△ABD中，AD=10, B=45°, ADB=60°， 由正弦定理得, AB=. 3.（2010·江苏高考·Ｔ１7）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。 该小组已测得一组、的值，算出了tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值； 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？ 【解析】（1），同理：，。 AD—AB=DB，故得，解得：。 因此，算出的电视塔的高度H是124m。 （2）由题设知，得， ，（当且仅当时，取等号） 故当时，最大。 因为，则，由的单调性可知：当时，-最大。 故所求的是m。 4.（2010·安徽高考理科·Ｔ16）设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且。 (1)求角的值； (2)若，求（其中）。 【解析】（1） ， 由题意，所以， （2），①， ，②， 又，由①、②解得。 5.（2010·福建高考文科·Ｔ21）某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇。 (Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (Ⅱ)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值； (Ⅲ)是否存在，使得小艇以海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定的取值范围；若不存在，请说明理由。 【解析】(Ⅰ)设相遇时小艇航行距离为海里，则 故当时，，即小艇以每小时海里的速度航行，相遇时距离最小。 (Ⅱ)若轮船与小艇在处相遇，由题意可得：化简得，，由于，即，所以当时，取得最小值， 即小艇航行速度的最小值为海里每小时。 (Ⅲ)由(Ⅱ)知，，于是有，小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇等价于上述方程有两个不等正根，，解得：，所以的取值范围为。 6.（2010·天津高考文科·Ｔ１7）在ABC中，。 （Ⅰ）证明B=C： （Ⅱ）若=-，求sin的值。 【解析】（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理及已知得=.于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因为，从而B-C=0. 所以B=C. （Ⅱ）由A+B+C=和（Ⅰ）得A=-2B,故cos2B=-cos（-2B）=-cosA=. 又02B,于是sin2B==. 从而sin4B=2sin2Bcos2B=，cos4B=. 所以 7.（2010·福建高考理科·Ｔ19）某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇。 (Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (Ⅱ)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。 【解析】 (Ⅰ)为使小艇航行距离最短，理想化的航行路线为OT，小艇到达T位置时轮船的航行位移即，，从而（海里/时）； (Ⅱ)若轮船与小艇在H处相遇时，在直角三角形OHT中运用勾股定理有：，等价于 从而 所以当时，， 也就是说，当小艇以30海里每小时的速度，沿北偏东方向行走能以最短的时间遇到轮船。 8.（2010·安徽高考文科·Ｔ16）的面积是30，内角所对边长分别为，。 (1)求； (2)若，求的值。 【解析】由且为三角形内角，得. 又=，∴， （1）； （2