北师大版数学必修21.3.1(18).docVIP

2.2.3　圆与圆的位置关系 明目标、知重点　1.理解圆与圆的位置关系的种类；2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法，能够利用上述方法判定两圆的位置关系；3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性． 1．圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种，分别为：外离、外切、相交、内切、内含． 2．圆与圆的位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2(r1≠r2)，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系dr1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|dr1＋r2d＝|r1－r2|0d|r1－r2|(2)代数法判定圆与圆的位置关系：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(圆C1方程,圆C2方程))eq \o(――→,\s\up7(消元))一元二次方程． 当Δ0时，两圆相交；当Δ＝0时，两圆内切或外切；当Δ0时，两圆外离或内含． [情境导学]　同学们一定观看过“日食”现象，那么月亮与太阳的圆形轮廓有哪几种位置关系？又如何判断它们的位置关系呢？本节就来探讨这个问题． 探究点一　圆与圆的位置关系 思考1　圆与圆的位置关系有几类？ 答　有内含、内切、相交、外切、外离五种． 思考2　如何利用几何性质判断圆与圆的位置关系？ 答　设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： (1)当l＞r1＋r2时，圆C1与圆C2外离； (2)当l＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切； (3)当|r1－r2|＜l＜r1＋r2时，圆C1与圆C2相交； (4)当l＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切； (5)当l＜|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含． 思考3　判断两圆位置关系的步骤如何？ 答　(1)将两圆的方程化为标准方程；(2)求两圆的圆心坐标和半径R、r；(3)求两圆的圆心距d；(4)比较d与|R－r|，R＋r的大小关系得出结论． 思考4　已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？ 答　联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，当判别式Δ0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆相外切或内切，当Δ0时，两圆外离或内含． 例1　判断下列两圆的位置关系： (1)(x＋2)2＋(y－2)2＝1与(x－2)2＋(y－5)2＝16； (2)x2＋y2＋6x－7＝0与x2＋y2＋6y－27＝0. 解　(1)根据题意得，两圆的半径分别为r1＝1和r2＝4，两圆的圆心距d＝eq \r([2－?－2?]2＋?5－2?2)＝5. 因为d＝r1＋r2，所以两圆外切． (2)将两圆的方程化为标准方程， 得(x＋3)2＋y2＝16，x2＋(y＋3)2＝36. 故两圆的半径分别为r1＝4和r2＝6， 两圆的圆心距d＝eq \r(?0＋3?2＋?－3－0?2)＝3eq \r(2)， 因为|r1－r2|dr1＋r2，所以两圆相交． 反思与感悟　和判断直线与圆的位置关系一样，判断两圆的位置关系也可以用代数法求方程组解的个数，但由于解两个二元二次方程组通常计算量较大，较为麻烦，而且当无解或是一解时往往还得重新用几何法来讨论，不如直接运用几何法简便． 跟踪训练1　圆A：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0与圆B：x2＋y2－2x－6y＋1＝0的位置关系是________． 答案　外切 解析　圆A的标准方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆B的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9，两圆心之间的距离为eq \r(?－2－1?2＋?－1－3?2)＝5＝2＋3，即两圆心距＝r1＋r2，故两圆外切． 探究点二　与两圆相切有关的问题 例2　求过点A(0,6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原点的圆的方程． 解　方法一　将圆C化为标准方程，得(x＋5)2＋(y＋5)2＝50， 则圆心为C(－5，－5)，半径为5eq \r(2). 所以经过此圆心和原点的直线方程为x－y＝0. 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 由题意知，O(0,0)，A(0,6)在此圆上，且圆心M(a，b)在直线x－y＝0上， 则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(?0－a?2＋?0－b?2＝r2，,?0－a?2＋?6－b?2＝r2，,a－b＝0))?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝3，,r＝3\r(2).)) 于是所求圆的方程是(x－3)2＋(y－3)2＝18. 方法二　此题还可以通过弦