北师大版数学必修21.3.1(22).docVIP

题型一　几何中共点、共线、共面问题 例1　如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2. 求证：(1)E、F、G、H四点共面； (2)GE与HF的交点在直线AC上． 证明　(1)∵BG∶GC＝DH∶HC， ∴GH∥BD，又EF∥BD，∴EF∥GH， ∴E、F、G、H四点共面． (2)∵G、H不是BC、CD的中点，∴EF≠GH. 又EF∥GH，∴EG与FH不平行，则必相交，设交点为M. eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(EG?面ABC,HF?面ACD))?M∈面ABC且M∈面ACD ?M在面ABC与面ACD的交线上?M∈AC. ∴GE与HF的交点在直线AC上． 跟踪训练 如图，O是正方体ABCD－A1B1C1D1上底面ABCD的中心，M是正方体对角线AC1和截面A1BD的交点．求证：O、M、A1三点共线． 证明　∵O∈AC，AC?平面ACC1A1， ∴O∈平面ACC1A1. ∵M∈AC1，AC1?平面ACC1A1. ∴M∈平面ACC1A1. 又已知A1∈平面ACC1A1，即有O、M、A1三点都在平面ACC1A1上， 又O、M、A1三点都在平面A1BD上，所以O、M、A1三点都在平面ACC1A1与平面A1BD的交线上， 所以O、M、A1三点共线． 题型二　空间中的平行问题 例 如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点， 求证：(1)GE∥平面BB1D1D； (2)平面BDF∥平面B1D1H. 证明　(1)取B1D1的中点O，连结GO，OB，易证OG綊eq \f(1,2)B1C1， BE綊eq \f(1,2)B1C1， ∴OG綊BE，四边形BEGO为平行四边形． ∴OB∥GE. ∵OB?平面BDD1B1， GE?平面BDD1B1， ∴GE∥平面BDD1B1. (2)由正方体性质得B1D1∥BD， ∵B1D1?平面BDF，BD?平面BDF， ∴B1D1∥平面BDF. 连结HB，D1F， 易证HBFD1是平行四边形，得HD1∥BF. ∵HD1?平面BDF，BF?平面BDF， ∴HD1∥平面BDF. ∵B1D1∩HD1＝D1， ∴平面BDF∥平面B1D1H. 跟踪训练2　如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC. 证明　∵M、N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC， 又∵AC?平面ABC，MN?平面ABC， ∴MN∥平面ABC， ∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC， ∴BD∥EC，四边形BDEC为直角梯形， ∵N为EC的中点，EC＝2BD，∴NC綊BD， ∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC， 又∵DN?平面ABC，BC?平面ABC， ∴DN∥平面ABC，又∵MN∩DN＝N， ∴平面DMN∥平面ABC. 题型三　空间中的垂直关系 例 如图所示 在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． 证明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 证明　(1)在四棱锥P—ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD， ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC. 而AE?平面PAC，∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面PCD. 而PD?平面PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A， ∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD， ∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A， ∴PD⊥平面ABE. 跟踪训练3　如图 A，B，C，D为空间四点．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝eq \r(2)，等边△ADB以AB为轴运动． (1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD； (2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论． 解　(1)取AB的中点E，连结DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE，由已知可得DE＝eq \r(3)，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝eq \r(DE2＋EC2)＝2. (2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD. 证明如下：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD， 所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD. ②当