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第 2l卷第 1期 l997年 3月 南昌大学学拉(理科版) Journal of Nanchang University(Natural Science) Vol 21 No 1 Mar 1997 j 一 关于方阵分解为一个对称阵 与一个对合阵的乘积 冯肇华 李样明 — — _ - ， ， ～ 一 ～ 一 ● (广东教育学院敷学系 广州 510303) ，』 ．2 摘 要 提出如下有趣的猜想：任意域上的方阵均可以分解为一个对称阵与一个对台阵的乘积。 证明了当方阵的阶为2．3时．方阵为次线对称阵时．方阵为亚正定．亚半正定时猜想成立。 O 151 2 椭 1 ’必 虹就 衅醚艚 腋换 来耜 分类号 r、 、失E坪 解， 降 方 矩阵的乘积分解是矩阵论中有意义的问题之一．[1]中证明了任意域上的方阵可表为两个 对称阵与一个对合阵的乘积，(3]中证明了任意域上的方阵可表为两个对称阵的乘积，很自然 地，我们有如下猜想： 猜想 任意域上的方阵可表为一个对称阵与一个对合阵的乘积。 本文首先证明了当方阵为次线对称阵时或阶为 2时，猜想成立，再限制在实数域上，运用 矩阵的合同变换，证明了当方阵为亚正定，亚半正定等情形时，猜想成立。本文所有结论的证 明都是构造性的。 设 F为一域，M (F)是F上n×n矩阵的集合，G (F)是M (F)中非奇异矩阵的全体。设 S ∈M (F)，s 表示 S的转置矩阵，若 S=S ．则称s为对称阵，若 S2=E．则称 s为对合阵。 定义 1 设 A=(a；．)∈M (F)，若有 口 = 口 +1． 一1+1 则 A是关于次对角线对称的矩阵，称为次线对称矩阵。 定理 1 域 F上次线对称阵可分解为两个对称阵的乘积，且其中之一为对台阵。 证明 取次对角线上的元素为 1，而其它元素为0的矩阵，记为 Q， 0 1] I lQ=I ．’‘ l I1 0 J 则 Q =E，即 Q为对合阵。 设 A为一次线对称阵．令 AO=B，则 A=BO，只要证明 B为对称阵即可。 因为AO是对A列的逆序排列，故有 b = 口．． ”-j+J； bjI= 口 ， 一 【+J 收稿 日期 ：1997—01—02 维普资讯 南昌大学学报(理科版) 记 H— -I1=s．则 Ⅱ t． 月 J+l= ai． j， ai． 一I+l= n月一 +l， 一I+l 由定义 1即知 n =n? ? +l，从而 b = 即B为对称阵．证毕。 定理 2 当^ 为2阶矩阵时，? 可分解为一个对称阵与一个对台阵的乘积 证明 设A=l‘ 。I 【a3 04 J 若 n。≠。， ^=[ 。 。 。：a+3。， 。 ][ 。 l+。3 ]，[。a l。 。 ：。 。 ]为对 称阵，1 。f ( a 3)j为对台阵。 【o 一1 J 一 则 ^=[ ～ 4 ] ：引 若 nl=n =O，则 A为次线对称阵，由定理 1即得证。 引理 1 A∈ (F)，P∈G (F)，若 ^可分解为一个对称阵与一个对台阵的乘积，则 PAP 依然。 引理 2 设 ^为对角块矩阵，即 A=diagIA1，Az．?， }． 若 ．i=1．2，?．k．可分解为一个对称阵与一个对台阵的乘积．则 A依然。 定义 2 设 A，BEM (F)，若存在 PE Gn(F)，使 B=PAP ．则称A．B为合同的。 定义3 若 A与 B合同，则记为 A ，在不混淆时，简记为 A—B，记 A=S+K．其中 S ： ，称为 A的对称分量，K： 称为A的反对称分量。 进一步，若 S为正定(或半正定)矩阵时．则称A为亚正定(或亚半正定)矩阵 。 引理 3 1 若A为对称矩阵，则A一 进一步若A为半正定的．则 A一 2‘ 若A为反对称矩阵．则 A— O 0 若A为正定的．则 A—E 其中B =( 1 )或。．i=1，2，?，k，且顺序可任意调换； 维普资讯 第 l期 冯肇华等：关于方阵分解为一个对称阵与一个对台阵的乘积 -33 积。 3 对任意方阵 A，恒有 其中Q为反对称阵或 l a1 A— l - fB1 A— P+ l B ]其中P为对称阵，B．如2。中规定。 定理 2 设 A为n阶方阵，则当 n=2，3时，A可分解为一个对合阵与一个对称阵的乘 证(I) 设 A为二阶方阵，由引理 3之 3。知 A一 Q 其中 Q为反对称阵，设 而f 一 0 J 知得证。 ( 。)为对合阵， 0 0 1 兰。 工1Y3 Y 0 1 0 Y Y X3] A—l22姐I+ll：l22y4+l【43j —J【34—1J① 若 1≠0，则： y2 X 姐 2 Y工 A ]l 4+1l0I‘ 』【Y3 Y4—1 J 尝 -xt ly2y 3；+ j