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 PAGE 41 第二章 水静力学 水静力学的任务: 研究液体平衡的规律及其应用 水静力学的任务: 研究液体平衡的规律及其应用 液体平衡：静止状态 相对平衡 静止状态: 液体相对地球没有运动，液体处于静止状态 相对平衡: 液体相对于地球处于运动，但液体相对于运动着的容器之间却是静止的、无相对运动的。 例如，直线等加速度行驶车厢中的容器所盛液体水静力学的任务：研究液体平衡的规律及其实际应用液体的平衡有两种：静止状态 相对平衡 特点：液体内部不存在内摩擦力 因此，水静力学中，理想液体和实际液体无区别 第一节 静水压强及其特性 一、静水压强 ΔP 为作用于微元面积上的动水压力; p 为静水压强 p：静水压强 单位：Pa = N·m-2 或 kN·m-2 量纲：[F· L-2] 二、静水压强的两个性质 1. 静水压强的方向与受压面垂直并指向受压面； 2. 任一点静水压强大小和受压面方向无关。 证 明 任一点静水压强大小与受压面方向无关，如果能证明，任意点在三个方向的压强相等即可。 O x y z pz Δx Δy 1 2 pn ΔAn px Δy Δz 1 2 py Δx Δz 1 2 从静止液体中任取一微元四面体，考虑其受力平衡. 单位质量力 总质量力为 考虑四面体在三个坐标方向的力平衡，则 式中, : 斜面法线与三个坐标方向的夹角 后、左侧面、底面和斜面的面积 后、左侧面、底面和斜面的面积，则 表明连续介质的平衡液体内，任一点的静水压强仅是空间坐标的函数,与受压面方向无关，即 式中，x, y, z 为液体占据的空间坐标. 第二节 液体的平衡微分方程式 一、液体平衡微分方程式 液体处于平衡状态时，作用于液体上的各种力及其坐标间的微分关系 泰勒展开式 在平衡液体中，取一块平行六面微元体（其他形状也可，但六面体方便） x y O A dy dx dz z 该六面体在质量力和表面力的作用下处于平衡 设形心点坐标： A=A(x,y,z) ，边长：dx,dy,dz 表面力 侧面中心点 压强 面积 左侧面 右侧面  质量力 x y O A dy dx dz z X Y Z x： y： z： 考虑微元体的所有力，则 以除上式，并化简，得到液体平衡微分方程形式1 液体平衡微分方程形式 1 欧拉平衡微分方程式 瑞士学者（Euler）1775年首先提出的 物理意义: 静水压强沿某个方向的变化率 与该方向单位体积的质量力相等 液体平衡微分方程形式 2 × dy 二、力势函数和平衡微分方程式的积分 由式可见 由理论力学可知：存在一个与坐标有关的力势函数，使对坐标的偏导数等于单位质量力在坐标投影，即 具有上式关系的力称为有势力，或保守力 有势力所做的功与路径无关而只与起点和终点的坐标有关重力、惯性力都属势力 表明: 作用在液体上的质量力必须是有势力， 液体才能保持平衡 比较两式 积分上式，则 或者 式中，为自由液面上的压强和力势函数 三、等压面 3.1等压面 液体中压强相等的点连成的面（曲面，或平面） 3.2 等压面性质 等压面具有两个性质 1 在平衡液体中等压面就是等势面 对于不可压缩液体，ρ为常数 故在等压面上 p = constant即 dU =0 , U = constant 2 等压面和质量力正交 证 明 有一质点 M 质量为dm ，在质量力作用下 y x z O R ds M θ 沿等压面移动一个微分距离ds = (dxi+ dyj+ dzk) 图 等压面和质量力正交 则质量力所作的功为 在等压面上有，则 也即等压面和质量力正交。 例1 如果液体在静止状态下，作用于其上的质量力只有重力，那么就局部范围，等压面一定是一个水平面；就大范围讲，等压面是一个处处与地心正交的曲面 例2 旋转液体中的相对平衡 一个盛有液体的原容器，以定常角速度绕铅垂轴旋转，液面的形状是一个曲面，以后将证明其是一个旋转抛物面 例3 沿底面作等加速直线运动的容器中液体相对平衡， 液面是一个斜平面 第三节 重力和几种质量力同时作用下的液体平衡 一、 重力作用下的静水压强的基本公式 1.1重力作用下静水压强的基本形式 在实际工程中，作用于平衡液体上的质量力常只有重力，即静止液体。 考虑容器中液体在重力作用下的平衡 把直角坐标的z 轴去作为铅垂方向，则Z =