【第十四讲】FIR滤波器的最佳逼近论述.doc

南昌大学科学技术学院教案 课程 名称 数 字 信 号 处 理 授课 时间 周，星期 ， 节（ 年 月 日） 课次 授课 方式 ■理论课 □实验课 □其他 学时 2 授课 题目 FIR滤波器的最佳逼近 目的与要求： 重点与难点： 教具（多媒体、模型、图表等）： 板书、多媒体 南昌大学科学技术学院教案 教 学 内 容 教学方法 时间分配 阐述+提问 随堂掌握 课堂设问： 教学内容小结： 复习思考题或作业题： 教学后记（此项内容在课程结束后填写）： 南昌大学科学技术学院讲稿 7.6 FIR滤波器的最佳逼近 采用窗函数法设计FIR滤波器方法简单，通常会得到一个性能相对很好的滤波器。但是在以下两个方面的问题，这些滤波器的设计还不是最优的：  （1）通带和阻带的波动基本上相等，虽然一般需要δ2小于δ1，但是在窗函数法中不能分别控制这些参数。 所以，窗函数法需要在通带内对滤波器“过设计”（即通带内的技术指标超过所要求的技术指标），这样才能满足阻带的严格要求。 （2） 对于大部分窗函数来说，通带内或阻带内的波动不是均匀的，通常离开过渡带时会减小。若允许波动在整个通带内均匀分布， 那么就会产生较小的峰值波动。 另一方面，对于一个给定的滤波器阶数M（M=N-1），在所有频带内波动的幅度最小。在这个意义上说，等波纹线性相位滤波器是最优的。所以，等波纹线性相位滤波器设计法又称为等波纹最佳一致逼近设计法。  一个FIR线性相位滤波器的频率响应可以写成 （7-123） 式中，幅度H(ω)是ω的实值函数。对于第一类线性相位滤波器 h(n)=h(N-1-n) 式中，N是奇数。利用h(n)的对称性可以将频率相应表示为 （7-124） 式中，L=(N-1)/2，且有： Hd(ω)是期望的幅度; W(ω)是一个正的误差加权函数， 它是为在通带或阻带要求不同的逼近精度而设计的。一般地，在要求逼近精度高的频带， W(ω)取值大; 要求逼近精度低的频带, W(ω)的取值小。设计过程中W(ω)为已知函数。设 E(ω)=W(ω)［Hd(ω)-H(ω)］ 是一个加权逼近误差。等波纹滤波器设计问题就是求系数a(k)， 要求在一组频率F上使E(ω)的最大绝对值最小， 例如，为了设计一个低通滤波器，频率组F可以是通带［0, ωp］和阻带［ωs, π］内的频率，如图7-29所示。过渡带［ωp, ωs］是不关心的区域，求加权误差最小时不作考虑，此时可以采用交错定理求这个最优化问题。 图 7-29 等波纹滤波器设计中的频率组， 包括通带［0, ωp］和阻带［ωs, π］ 过渡带［ωp, ωs］是不关心的区域 交错定理：设F是［0, π］区间内封闭子集的并集，对于一个正的加权函数W(ω)， 在F上，H(ω)能成为惟一使加权误差|E(ω)|最大值最小的函数。 其充要条件是：在F上E(ω)至少有L+2个交错值。也就是说，在F上必须至少有L+2 个极值频率， ω0ω1…ωL+1 这样 E(ωk)=-E(ωk+1) k=0, 1, …, L 且 k=0, 1, …, L+1 交错定理说明最优滤波器是等波纹的。虽然交错定理确定了最优滤波器必须有的极值频率（或波动）最少数目，但是可以有更多的数目。例如，一个低通滤波器可以有L+2个或L+3 个极值频率，有L+3 个极值频率的低通滤波器称作超波纹滤波器。 由交错定理可以得到： W(ωk)［Hd(ωk)-H(ωk)］=(-1)kε k=0, 1, …, L+1 式中， 是最大的加权误差绝对值，这些关于未知数a(0), …, a(L)以及ε的方程可以写成下面矩阵的形式： 给定了极值频率，就可以解关于a(0), …, a(L)以及ε的方程。 为了求极值频率，可以采用一种高效的迭代过程，称作帕克斯-麦克莱伦（ParksMcClellan）算法。具体步骤如下：  ① 估计一组初始极值频率（可任选）。  ② 解方程（7-113）求ε，可以证明ε的值为 式中： ③ 利用拉格朗日插值公式在极值频率之间插值，计算F上的加权误差函数。  ④ 先选择使插值函数最大的L+2 个频率， 然后再选择一组新的极值频率。  ⑤ 如果