群论第5章介绍.ppt

第五章 量子力学和群论 ;;先假设 是沿x方向的位移，则体系在y方向和z方向将保持不变，于是有 将 展开为泰勒级数得： ;上式的最后一步利用了公式 将以上结果推广到任意的一般位移 ，则有 式中 是体系的动量算符 。;将（1）与（2）相比，得到空间平移算符的具体形式为： 因为 是实数，P是厄米算符，所以 所以空间平移算符 是一个么正算符。;我们注意到，波函数满足含时的薛定谔方程 其中H是体系的哈密顿算符。现在需证明，平移后的函数是否仍描述体系的一个可能状态，即 是否仍满足含时的薛定谔方程。用群的语言来讲，就是 是不是一个对称操作。如果是的话，则必然有：; 即： 或： ;可见，当且仅当体系的哈密顿算符H在平移算符 的作用下不变，即 与H对易时，平移后的波函数 才可能描述体系的一个状态。 由于 是一个么正算符，并具有（3）的形式，因此，当且仅当体系的动量P算符与H对易即 时，（4）对所有的矢量 才成立，从而我们可得到如下定理：; 定理：若物理体系在所有的空间平移下是不变的，则其线动量是运动恒量，或者说体系的动量是守恒的。 所有空间平移算符 的集合（对所有的 值）构成了一个群，称为空间平移群，这是个连续的、连通的。三参数非紧致的阿贝尔群，其合成法则是： 这是所考虑的物理体系的一个对称性群。凡是属于该群的体系，其动量必守恒。 ; 例1 自由粒子 自由粒子的哈密顿算符仅包含动能部分，即 波函数的形式为 ， 是粒子的波矢，在任何平移算符 作用下H都不变，H与 可对易，于是粒子的动量守恒 同样是自由粒子的波函数。 ;例2 氢原子 电子波函数的形式为 哈密顿算符 若原来氢原子的核位于坐标原点，现在，对体系作一平移 ，氢原子的核就不再位于坐标原点，于是波函数 不能再写成标准的形式了，所以这就不再是体系可能的态。在这种情况下，氢原子中电子的动量就不是守恒量??? 类似上面考虑过的物理体系的空间平移，我们也可以将体系在时间上平移，并且平移后的函数在一定条件下仍然表示体系的可能状态。 ;假定是 体系的波函数，令 表示将时间的函数平移一个量的算符。于是我们得到： 将 在点 附近展开为泰勒级数得： 即： ; 在量子力学中，能量算符 若H本身不显含时间t，那么，H在 的作用下不变，所以H与 对易，即： 按照薛定谔方程，此时体系状态随时间的演化规律与时间零点的选取无关，即体系具有时间均匀性。 因此 也满足薛定谔方程，则我们可用H代替 得 ： ;因为 是实数，而是 厄米的，所以 是一个么正算符。同样我们可得到如下定理： 定理2：若物理体系在所有的时间平移下是不变的，则其能量是运动恒量，或者说体系的能量是守恒的。 所有时间平移算符 的集合也是一个连续的、连通的、单参数非紧致的阿尔贝群，它也是物理体系所具有的一种对称性群，如果体系在这个群的作用下不变，则体系的能量守恒。 ;例如，对于孤立的氢原子，不存在微扰时，其哈密顿算符对所有的时间平移是不变的。所以，如果原子在一给定的时刻处于一特定的状态，则它在所有的时刻都继续处于此同一状态，且体系的总能量保持不变。 ; 第二节 本怔函数和群表示的基 (一) 本征函数可作为群表示的基 定理: 如哈密顿量 H 在对称群 G 的对称元素的变换下保不变， 即PR HPR-1 = H（R ? G），群G为哈密顿量H所属的群, 与H的本征值Ej相对应的本征函数Ψim ( m = 1, 2 ------- f ） 组成群 G 表示的基 证明： 第一步, 证明 若Ψim 是对应于本征值 Ei 的 H 的本征函数， 则PRΨim 也是对应于本征值 Ei 的 H 的本征函数 证：Ei 是 f 度简并 H Ψim = EiΨim （ m = 1，2 ------- f ） （1）