集合与符号讲义.ppt

集合论 1. 集合概念与符号 集合(直观描述) 集合相等和子集合 子集的表示方式和全集 常用数学符号和常用集合记号 起源 集合论(Set Theory)是现代数学的基础．它的起源可追溯到16世纪末，主要是对数集进行卓有成效的研究．但集合论实际发展是由 19世纪 70年代德国数学家康托尔(G . Cantor) 在无穷序列和分析的有关课题的理论研究中创立的．康托尔对具有任意特性的无穷集合进入了深入的探讨，提出了关于基数、序数、超穷数和良序集等理论，奠定了集合论的深厚基础．因此，康托尔被誉为集合论的创始人．但随着集合论的发展，以及它与数学哲学密切联系所作的讨论，在本世纪初，出现了许多似是而非、自相矛盾的悖论，如著名的罗素(B . A . W . Russell)悖论，有力冲击了或者说动摇了集合论的发展． 由此原发许多数学家哲学家为克服这些矛盾而建立了各种公理化集合论体系，其中尤以本世纪初、中期的ZFS(E . Zermelo, A . Fraenkel, T . Skolem)和NBG(Von Neurnann, P . Bernavs, K . G?del)公理化体系最为流行. 到 20世纪 60年代，P . L . Cohen发明了强制方法而得到了关于连续统与选择公理的独立性成果，尔后的研究结果推陈出新，大量涌现．在同一时代，美国数学家 L . A.Zadeh提出了Fuzzy集理论, 以及 20世纪80年代波兰数学家Z . Pawlak发表了Rough集理论，这两种理论区别于以往的集合论， 是一种新的模糊集理论，受到了学术界的重视和青睐，取得了喜人成果．还有多位著名学者也为集合论的发展作出了重要贡献． 集合论在计算机科学、人工智能领域、逻辑学及语言学等方面都有着重要的应用．对子从事计算机科学的工作者来说，集合论是不可缺少的理论知识，熟悉和掌握它是十分必要的． 集合(直观描述) 具有某种属性的对象总体(通常用大写字母表示，如A,B等)，这些对象称为其元素 (通常用小写字母表示，如x,y等). x是A的元素记为: x?A (读作x属于A) x不是A的元素记为: x?A (读作x不属于A) 集合的基本特性是，对于给定的集合A，任何对象x, x?A与x?A中有且只有一个成立. 小于10的正奇数集合A={1, 3, 5, 7, 9} 表面看起来不相干的元素所构成的集合{a, 2, Fred, New Jerseg} 集合B={x | x是小于10的正奇数} 上例中集合A=B 集合相等和子集合 集合相等：如果两个集合A和B有同样的元素组成，就说集合A和B相等，记作A= B或B=A. 子集合: 如果集合B的元素都是集合A的元素，B叫做A的子集合(简称子集). 记作B?A (读作B包含于A)，或A?B (读作A包含B). 命题： A= B当且仅当A?B且A?B. 子集的表示方式和全集 设A是一个集合,其子集B通常用下面的形式表示：B={x?A | P(x)}, 其中P(x)表示x在B中所要满足的条件 空集：不含任何元素的集合叫做空集,用符号?表示,空集是任何集合的子集： ?={x?A | x ?x} 在数学的讨论中，常常涉及到的是某个固定集合的子集，例如，实数的子集. 这个固定集合叫做全集. 一般用E表示. 集合的基数 定义4 令S为集合。若S中恰有n个不同元素，n是非负整数，就说S是有限集合，而n是集合S的基数，用| S |表示。 例 令A为小于10的正奇数集合，则| A | = 5 空集Φ没有元素，所以| Φ | = 0 定义5 如果一个集合不是有限的，就说它是无限的。 幂集合 很多问题都要检查一个集合的元素的所有可能的组合，看它们是否具有某种性质。为了考虑集合元素所有可能的组合，我们构造一个新集合，它以S的所有子集作为它的元素。 幂集合 定义6 已知集合S, S的幂集合是集合S所有子集的集合，用P(S)表示。 例 集合{0, 1, 2}的幂集合是P({0,1,2}={Φ,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}}。 空集的幂集合是什么？集合{Φ}的幂集合是什么？ 幂集合 空集的幂集合是什么？集合{Φ}的幂集合是什么？ P(Φ)={Φ}P({Φ})={Φ,{Φ}} 如果一个集合有n个元素，那么它的幂集合有2n个元素。 2. 笛卡尔积 定义7 有序n元组（a1,a2,…,an)是以a1为第一个元素，a2为第2个元素，…，an为第n个元素的有序组。 2元组特称为有序偶。 集合A和B的笛卡尔积C=A?B表示所有有序偶(a,b)的集合, 其中a?A, b?B. 也就是 A?B={(a,b) | a?A且 b?B} 笛卡尔积 例 令A为某大学所有学生的集合，B表示该大学开设的所有课程的集合。A和B的笛卡