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线性代数习题册参考答案 第一章 第一节——第四节 1.求下列各排列的逆序数： (1) 134785692 (2) 139782645 (3) 13…(2n-1)24…(2n) (4) 13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2 [11;17; ;] 2. 已知排列为偶排列，则 (8,3) . 3.计算下列各阶行列式： (1) (2) (3) [2000; 0; 4abcdef] 4. 设，则的展开式中的系数为 -1 . 第五节——第七节 1.阶行列式，则展开式中项的符号为( D ).（A）-（B）+（C）（D） 2.如果，求=-12 3. 已知，计算 4. 计算行列式 5.计算下列各行列式（Dk为k阶行列式） (1) = (2) == (4) =-2 第二章 矩阵及其运算 第一节——第二节 1. 以下结论正确的是（C）. (A)若方阵A的行列式，则。(B)若，则。 (C)若A为对称矩阵，则也是对称矩阵。(D)对任意的同阶方阵A,B有 2. 设A=，B=，C=，计算(1) 2A-3B+2C．[] 3．设A=，B=，求AB-BA． [] 4．设A=，B=，计算ABT，BTA，ATA，BBT+ABT． [; ; ; ] 5．若，，那么. 6．为三阶矩阵，，，则 2 ． 7．已知，，则 . 8．A为2005阶矩阵，且满足，则 0 ． 9．计算 ， 11．证明：若A和B都是n阶对称矩阵，则A+B，A-2B也是对称矩阵．（略） 第三节——第四节 1．设A、B都是n阶矩阵，问：下列命题是否成立？若成立给出证明；若不成立举反例说明． (1) 若A、B皆不可逆，则A+B也不可逆；(2) 若AB不可逆，则A，B都可逆； (3) 若AB不可逆，则A，B都不可逆；(4) 若A可逆，则kA可逆（k是常数）． 3．设A为3阶矩阵，且 ，求 4．（1）若方阵A满足 ，试证A+E可逆，并求. 证明： 5．解矩阵方程 ，其中，。 [] 6．求下列矩阵的逆矩阵：(1) ； 7．利用逆矩阵解下列方程： (1) ． [] 9．设方阵A满足方程．证明A+E和A-3E都是可逆的，并求它们的逆矩阵． 由得 所以(A+E),(A-3E)均可逆，且 10．设方阵A满足A2-A-2E=0证明： (1) A和E-A都可逆，并求它们的逆矩阵；(2) (A+E)和(A-2E)不同时可逆． 证明(1)： (2) 至少有一个为0,故。 14．用矩阵分块的方法，证明下列矩阵可逆，并求其逆矩阵． ⑴ ；． [] 第三章 第一节——第二节 1．求矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式。[3； ] 2．设,问k为何值,可使(1)(2)(3)[；] 4． 用初等矩阵解矩阵方程，其中，. 5． 用初等矩阵求 其中 解：, 第三节 一. 判断题；选择；题空题 1. 若都是的解，则是的一个解.( √ ) 2. 方程组基础解系的个数等于. () 3. 若方程组有非零解，则方程组必有无穷多解.( 错 ) 4. 与为同解方程组. ( √ ) 5. 方程组有无穷多个解的充分必要条件是有两个不同的解. ( √ ) 6. 当( D )时，齐次线性方程组一定有非零解. （A）；（B）；（C）；（D）. 8. 设方程组有解，则其增广矩阵的行列式= 0 . 9. 若有解，则常数应满足条件 (a1 +a2+a3+a4=0 ) . 10. 已知方程组无解，则 -1 . 11. 求方程组 的通解. [ 通解为] 12．设，问方程组什么时候有唯一解？什么时候无解？什么时候有无穷多解，并在有无穷多解时求解. [有唯一解；无解；无穷多解，解为] 第四章　向量组的线性相关性 第二节 向量组的线性相关性 2．设,且向量组线性无关,证明向量组线性无关. 证明 设则 因向量组线性无关,故有，因为故方程组只有零解，则所以线性无关。 3．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:. 解:,所以第1、2、3列构成一个最大无关组． 第三节 向量组的秩 5. 设A是n(m矩阵，B是m(n矩阵，nm，E是n阶单位阵，若AB=E，证明：B的列向量组线性