【数学】2010-2011学年同步精品学案(人教A成版必修5)：第2章 数列 章末整合.doc

----------专业最好文档，专业为你服务，急你所急，供你所需------------- 文档下载最佳的地方 ----------专业最好文档，专业为你服务，急你所急，供你所需------------- 文档下载最佳的地方 章末整合 对点讲练 一、等差数列与等比数列的基本运算 例1　已知{an}是各项为不同的正数的等差数列，lg a1、lg a2、lg a4成等差数列．又bn＝eq \f(1,a2n)，n＝1,2,3，…. (1)证明：{bn}为等比数列； (2)如果数列{bn}的前3项的和等于eq \f(7,24)，求数列{an}的通项公式an及数列{bn}的前n项和Tn. 点拨　先利用等差数列{an}的首项a1和公差d来表示bn，再证明{bn}为等比数列． (1)证明　∵lg a1、lg a2、lg a4成等差数列，∴2lg a2＝lg a1＋lg a4. 即aeq \o\al(2,2)＝a1a4，设等差数列{an}的公差为d，则(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d. ∵d≠0，∴a1＝d.∴a2n＝a1＋(2n－1)d＝2n·d， ∴bn＝eq \f(1,a2n)＝eq \f(1,d)·eq \f(1,2n).∴{bn}是以eq \f(1,2d)为首项，eq \f(1,2)为公比的等比数列． (2)解　∵b1＋b2＋b3＝eq \f(1,2d)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)＋\f(1,4)))＝eq \f(7,24)，∴d＝3，∴a1＝d＝3. ∴an＝a1＋(n－1)d＝3n，bn＝eq \f(1,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n. Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝eq \f(\f(1,6)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n)),1－\f(1,2))＝eq \f(1,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n)) 回顾归纳　在等差数列{an}中，通常把首项a1和公差d作为基本量，在等比数列{bn}中，通常把首项b1和公比q作为基本量，列关于基本量的方程(组)是解决等差数列和等比数列的常用方法． ?变式训练1　等差数列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20. 解　设数列{an}的公差为d，则a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d， a10＝a4＋6d＝10＋6d.由a3，a6，a10成等比数列得a3a10＝aeq \o\al(2,6)， 即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，整理得10d2－10d＝0，解得d＝0或d＝1. 当d＝0时，S20＝20a4＝200； 当d＝1时，a1＝a4－3d＝7，S20＝20a1＋eq \f(20×19,2)d＝20×7＋190＝330. 二、数列的通项公式和前n项和 例2　在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n. (1)设bn＝eq \f(an,2n－1).证明：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}的前n项和． 点拨　先利用等差数列的定义判断{bn}是等差数列，借助bn求出an是解决第(2)小题的关键． (1)证明　由已知an＋1＝2an＋2n 得bn＋1＝eq \f(an＋1,2n)＝eq \f(2an＋2n,2n)＝eq \f(an,2n－1)＋1＝bn＋1. ∴bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1.∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列． (2)解　由(1)知，bn＝n，eq \f(an,2n－1)＝bn＝n.∴an＝n·2n－1. ∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1 两边乘以2得：2Sn＝1×21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n 两式相减得：－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1 ∴Sn＝(n－1)·2n＋1. 回顾归纳　递推数列问题通常借助构建等差数列或等比数列来解决．把一般数列问题转化为两种基本数列问题是解决数列的一种常用思想方法． ?变式训练2　已知数列{an}的首项a1＝eq \f(2,3)，an＋1＝eq \f(2an,an＋1)，n＝1,2，…. (1)证明：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(