上册单元勾股定理知识.docVIP

北师大版八年级上册第一单元勾股定理 知识总结 知识总结 勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 勾股定理的应用 .勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． 勾股定理的逆定理 如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 常见.勾股数及其规律 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等 ③用含字母的代数式表示组勾股数： （为正整数）； （为正整数） （，为正整数） 勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． 勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在中，，则，， ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 题型分析 题型一、直角三角形的判定 例1、在△ABC中中，a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边，给出如下的命题： ①若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC为直角三角形；②若∠A＝∠C一∠B，则△ABC为直角三角形；③若，，则△ABC为直角三角形；④若a：b：c＝5：3：4，则△ABC为直角三角形；⑤若（a＋c）（a－c）＝b2，则△ABC为直角三角形；⑥若(a＋c)2＝2ac＋b2，则△ABC为直角三角形；⑦若ＡＢ＝12,ＡＣ＝9,BＣ＝15, 则△ABC为直角三角形。上面的命题中正确的有（　　　　） A．6 B．7 C．8 D．9 解：对①，因为三角形内角和为180度，所以∠A+∠B+∠C＝180°，因为∠A：∠B：∠C＝1：2：3，所以∠C=180°× 所以∠C=90°则△ABC为直角三角形，①正确。对②，因为∠A+∠B+∠C＝180°，而∠A＝∠C一∠B，所以∠C一∠B+∠B+∠C＝180°所以∠C=90°，即△ABC为直角三角形，②正确。对③，设a=5k，因为，，则c=4k，C2＋b2 = a2 所以为△ABC直角三角形. ③正确，同理易知④正确，对⑤，因为（a＋c）（a－c）＝b2 所以a2 –c2 = b2 ，所以△ABC为直角三角形．⑤正确，对⑥，因为(a＋c)2＝2ac＋b2，所以a2 +c2+2ac=2ac＋b2 所以a2 +c2=b2 正确，对⑦，因为ＡＢ＝12,ＡＣ＝9,ＡＣ＝15，所以AB2 +AC2=BC2所以正确。答案选B 评论：直角三角形的评定可以从角和边两方面来进行，从角来判定需结合三角形内角和定理，从边来判定需 合勾股定理。一般是验证最大边的平方是否等于两小边的平方和。 练习： 1、下列三角形中，不是直角三角形的是（　　） Ａ．三角形三边分别是9，40，41； Ｂ．三角形三内角之比为； Ｃ．三角形三内角中有两个互余； Ｄ．三角形三边之比为． 2、满足下列条件的，不是直角三角形的是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 3、已知中，，则下列结论无法判断的是（　　） Ａ．是直角三角形，且为斜边 Ｂ．是直角三角形，且 Ｃ．的面积为60