【创新设计】高考数学(人教A版,理)轮复习配套讲义：篇讲指数与指数函数.docVIP

第5讲　指数与指数函数 [必威体育精装版考纲] 1．了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的指数函数的图象． 4．体会指数函数是一类重要的函数模型. 知 识 梳 理 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n＞1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ①＝n为偶数． ②()n＝a. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①零指数幂：a0＝1(a≠0)． ②负整数指数幂：a－p＝(a≠0，p∈N*)； ③正分数指数幂：＝(a＞0，m，n∈ N*，且n＞1)； ④负分数指数幂：＝ ＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1) 当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 辨 析 感 悟 1．指数幂的应用辨析 (1)()4＝－2.(×) (2)(教材探究改编)()＝a.(×) 2．对指数函数的理解 (3)函数y＝3·2x是指数函数．(×) (4)y＝x是R上的减函数．(×) (5)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图， 无论在y轴的左侧还是右侧图象从上到下相应的底数由大变小．(×) (6)(2013·金华调研改编)已知函数f(x)＝4＋ax－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是(1,5)．(√) [感悟·提升] 1．“”与“n”的区别　当n为奇数时，或当n为偶数且a≥0时，＝a，当n为偶数，且a＜0时，＝－a，而()n＝a恒成立．如(1)中不成立，(2)中＝≠. 2．两点注意　一是指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论，如(4)； 二是指数函数在同一直角坐标系中的图象与底数的大小关系，在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大．如(5). 学生用书第22页 考点一　指数幂的运算 【例1】 (1)计算： ÷0.062 50.25； (2)若＋＝3，求的值． 解　(1)原式＝－＋÷×÷＝÷＝×2＝. (2)由＋＝3，得x＋x－1＋2＝9，∴x＋x－1＝7，∴x2＋x－2＋2＝49， ∴x2＋x－2＝47.∵＝3－3＝27－9＝18，∴原式＝＝. 规律方法 进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．需注意下列问题： (1)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示；(2)应用平方差、完全平方公式及apa－p＝1(a≠0)简化运算． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 答案　C 考点二　指数函数的图象及其应用 【例2】 (1)(2014·郑州模拟)已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图象可能是(　　)． (2)下列各式比较大小正确的是(　　)． A．1.72.51.73 B．0.6－10.62 C．0.8－0.11.250.2 D．1.70.30.93.1 解析　(1)y＝2xy＝2x－2y＝|f(x)|. (2)A中，∵函数y＝1.7x是增函数，2.53， ∴1.72.51.73. B中，∵y＝0.6x是减函数，－12，∴0.6－10.62. C中，∵(0.8)－1＝1.25， ∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小． ∵y＝1.25x是增函数，0.10.2， ∴1.250.11.250.2，即0.8－0.11.250.2. D中，∵1.70.31,0.93.11，∴1.70.30.93.1. 答案　(1)B　(2)B 规律方法 (1)对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解． (2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解． 【训练2】 已知实数a