【优化方案】高考数学曲线与方程课时闯关(含答案解析).docVIP

一、选择题 1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0的曲线是(　　) A．一条直线和一条双曲线 B．两条双曲线 C．两个点 D．以上答案都不对 解析：选C.(x－y)2＋(xy－1)2＝0?x－y＝0xy－1＝0). ∴x＝1y＝1)或x＝－1y＝－1). 2．曲线y2＝4x关于直线x＝2对称的曲线方程是(　　) A．y2＝8－4x B．y2＝4x－8 C．y2＝16－4x D．y2＝4x－16 解析：选C.设曲线y2＝4x关于x＝2对称的曲线为C，在曲线C上任取一点P(x，y)，则P(x，y)关于直线x＝2的对称点为Q(4－x，y)． 因为Q(4－x，y)在曲线y2＝4x上，所以y2＝4(4－x)， 即y2＝16－4x. 3．长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴，y轴上移动，→＝2→，则点C的轨迹是(　　) A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 解析：选C.设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9，① 又→＝2→，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)， 即a＝3x，32)y，代入①式整理可得x2＋y24＝1. 4．设线段AB的两个端点A、B分别在x轴，y轴上滑动，且|→|＝5，→＝35→＋25→，则点M的轨迹方程为(　　) A.x29＋y24＝1 B.y29＋x24＝1 C.x225＋y29＝1 D.y225＋x29＝1 解析：选A.设M(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则由|→|＝5， 得a2＋b2＝25(*)，由→＝35→＋25→， ∴(x，y)＝35(a,0)＋25(0，b)＝(35a，25b)， 得x＝35a，y＝25b. 故a＝53x，b＝52y，代入(*)式化简得x29＋y24＝1. 5．到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是(　　) A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 解析：选D.在边长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，DC与A1D1是两条相互垂直的异面直线，平面ABCD过直线DC且平行于A1D1，以D为原点，分别以DA、DC为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设点P(x，y)在平面ABCD内且到A1D1与DC之间的距离相等， ∴|x|＝y2＋a2，∴x2－y2＝a2. 二、填空题 6．(2011·高考北京卷)曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a1)的点的轨迹．给出下列三个结论： ①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于12a2. 其中，所有正确结论的序号是________． 解析：设曲线C上任一点P(x，y)，由|PF1|·|PF2|＝a2，可得 ?x＋1?2＋y2·?x－1?2＋y2＝a2(a1)，将原点(0,0)代入等式不成立，故①不正确． ∵点P(x，y)在曲线C上，点P关于原点的对称点P′(－x，－y)，将P′代入曲线C的方程等式成立，故②正确． 设∠F1PF2＝θ，则S△F1PF2＝12|PF1||PF2|·sin θ ＝12a2sin θ≤12a2，故③正确． 答案：②③ 7．已知→＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，α∈R，O为坐标原点，向量→满足→＋→＝0，则动点Q的轨迹方程是________． 解析：设Q(x，y)， 由→＋→＝(2＋2cos α＋x,2＋2sin α＋y)＝0， ∴x＝－2－2cos α，y＝－2－2sin α，) ∴(x＋2)2＋(y＋2)2＝4. 答案：(x＋2)2＋(y＋2)2＝4 8．过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，则线段AB的中点M的轨迹方程是________． 解析：设点M的坐标为(x，y)，由M是AB的中点得A(2x，0)，B(0，2y)． 如图，连结PM，由l1与l2垂直得，∠APB＝90°， ∴|AB|＝2|PM|， 即?2x?2＋?2y?2＝2?x－2?2＋?y－4?2， 化简得x＋2y－5＝0. 答案：x＋2y－5＝0 三、解答题 9．已知点G是△ABC的重心，A(0，－1)，B(0,1)，在x轴上有一点M，满足|→|＝|→|，→＝λ→(λ∈R)，求点C的轨迹方程． 解：设C(x，y)为轨迹上任一点，则G(x3，y3)， ∵→＝λ→(λ∈R)，∴GM∥AB， 又M是x轴上一点，则M(x3，0)， 又|→|＝|→|，∴ x3)?2＋?0＋1?2＝ x3)－x?2＋y2， 整理得x23＋y2＝1(x≠0)，即为点C的轨迹方程． 10．(2011·高考安徽卷)设λ0，点A的坐标为(1,1)，点B在抛物线y＝x2上运动，点Q满足B→＝λ→，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线