【优化方案】高考数学曲线与方程随堂检测(含答案解析).docVIP

1．(2011·高考广东卷)设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为(　　) A．抛物线　　　　　　　　　 B．双曲线 C．椭圆 D．圆 解析：选A.设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r.由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r＋1，也就是说，圆心C到点(0,3)的距离比到直线y＝0的距离大1，故点C到点(0,3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛物线． 2．如图，定点A和B都在平面α内，定点P?α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC.那么，动点C在平面α内的轨迹是(　　) A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点 C．一个椭圆，但要去掉两个点 D．半圆，但要去掉两个点 解析：选B.由三垂线定理可得AC⊥BC. ∴△ACB是直角三角形． 点C在以AB为直径的圆上，但异于A、B两点． 3．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|→|·|→|＋→·→＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x 解析：选B.由题意得→＝(4,0)，→＝(x＋2，y)， →＝(x－2，y)，|→|＝4，|→|＝ ?x＋2?2＋y2. ∴有|→|·|→|＋→·→＝4?x＋2?2＋y2＋4(x－2)＝0，即y2＝－8x. 4．过点(－2,0)的直线l和抛物线C：y2＝8x有且只有一个公共点，则直线l的斜率取值集合是(　　) A．{－1,0,1} B．{－1,0} C．{0,1} D．{－1,1} 解析：选A.设直线l的方程为y＝k(x＋2)， 联立y2＝8xy＝k?x＋2?)　①， 消去y得，k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，② (1)当k＝0时，x＝0，从而y＝0，方程组①有一组实数解，从而直线l与抛物线C有一个公共点； (2)当k≠0时，令判别式Δ＝(4k2－8)2－16k4＝－64k2＋64＝0，可解得k＝±1，此时方程②有两个相等的实数解，代入方程组①中的第二个方程知，相应的方程组①仅有一组实数解，从而直线l与抛物线C有一个公共点．综上知直线l的斜率取值集合是{－1,0,1}． 5．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为________________． 解析：法一：直接法．设A(x，y)，y≠0，则D\a\vs4\al\co1(\f(xy2)， ∴|CD|＝ \rc\y24＝3. 化简得(x－10)2＋y2＝36，由于A、B、C三点构成三角形，所以A不能落在x轴上，即y≠0. 法二：定义法．如图所示，设A(x，y)，D为AB的中点，过A作AE∥CD交x轴于E. ∵|CD|＝3， ∴|AE|＝6，则E(10,0)． ∴A的轨迹为以E为圆心，6为半径的圆，即(x－10)2＋y2＝36，又A、B、C三点构成三角形，∴A点纵坐标y≠0， 故A点轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)． 答案：(x－10)2＋y2＝36(y≠0)