、向量的线性运算.docVIP

专题与训练：向量的线性运算 一.向量的相关概念： （1）向量的长度（向量的模）：__记作：__（2）零向量：_，记作：__（3）单位向量：___ （4）平行向量：_______（5）共线向量：_______（6）相等向量与相反向量：_________ 思考： (1) 向量能否比较大小？ （2）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？____ （3）平行向量与共线向量的关系：____________________________________________ （4）向量“共线”与几何中“共线”有何区别：__________________________________ 【典型例题】 例1.判断下例说法是否正确，若不正确请改正： （1）零向量是唯一没有方向的向量； （2）平面内的向量单位只有一个； （3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量； （4）向量和是共线向量，，则和是方向相同的向量； （5）相等向量一定是共线向量； 【课堂练习】 1.判断下列说法是否正确，若不正确请改正： （1）向量和是共线向量，则四点必在一直线上； （2）单位向量都相等； （3）任意一向量与它的相反向量都不想等； （4）四边形是平行四边形当且仅当； （5）共线向量，若起点不同，则终点一定不同； 2.平面直角坐标系中，已知，则点构成的图形是__________ 二向量的加法和减法： 1. 阐述向量加法、减法法则的条件和结论。 思考：如果平面内有个向量依次首尾相接组成一条封闭折线，那么这条向量的和是什么？________________ 【课堂练习】 1.已知，求作：， （1） （2） 2.已知是平行四边形的交点，下列结论正确的有_________ （1） （2） （3） （4） 3.设点是内一点，若，则点为的______心； 4.对于任意的，不等式成立吗？请说明理由。 5.关于向量减法需要注意一下几点： ①在用三角形法则做向量减法时，只要记住连接两向量的终点，箭头指向被减向量即可. ②以向量为邻边作平行四边形，则两条对角线的向量为，这一结论在以后应用还是非常广泛，应加强理解； ③对于任意一点，，简记“终减起”，在解题中经常用到，必须记住. 6.如图，是一个梯形，，分别是的中点，已知试用表示和 7. 化简下列各式 （1） （2） （3） 三向量的数乘 1.向量的数乘的定义： 一般地，实数与向量的积是一个向量，记作：_______；它的长度和方向规定如下： （1） （2）当时，_____；当时，_____；当时，____； 2.向量的数乘的作图： 已知作，当时，把按原来的方向变为原来的倍；当时，把按原来的相反方向变为原来的倍； 例1.已知向量，求作： （1）向量 （2） 例2.计算 （1） （2） （3） 注意：（1）向量的线性运算的结果是一个向量，运算法则与多项式运算类似。 例3.已知是不共线的向量，，试用表示 【课堂练习】 1.计算： （1） （2） 2.已知向量且求 3.在平行四边形中，为的中点，用来表示 4.如图，在中，为边的中线，为 的重心，求向量 共线向量定理 1.向量的线性表示： 若果，则称向量可以用非零向量线性表示； 2.向量共线定理： 思考：向量共线定理中有这个限制条件，若无此条件，会有 什么结果？ 例1.如图，分别是的边的中点， （1）将用线性表示； （2）求证：与共线； 例2.设是两个不共线的向量，已知，若三点共线，求的值。 变式：设是两个不共线的向量,已知 ,求证：三点共线。 【课堂练习】 1.已知向量求证：为共线向量； 2.设是两个不共线的向量，若是共线向量，求的值。 3.求证：起点相同的三个非零向量的终点在同一直线上。 四 平面向量基本定理及坐标表示 1、向量的分解、向量的正交分解： 一个平面向量用一组基底 , 表示成=+的形式，我们称它为向量的分解，当, 互相垂直时，就称为向量的正交分解。 例1： 设 ， 是平面的一组基底，如果 =3 —2 ， =4 + ，=8 —9，求证：A、B、D三点共线。 例2： 在平行四边形ABCD中，点 M在 AB的延长线上，且 BM=AB，点N 在 BC上，且BN=BC ，用向量法证明： M、N、D 三点共线。 【课堂练习】 1、若，是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的（ ） A、 —2 和+2 B 、与3 C、2+3和 - 4—6 D、+与 2、若，是平面内所有向量的一组基底，那么下列结论成立的是（ ） A、若实数，使+=0，则==0 B、空间任意向量