I-角变换-3(讲义).docVIP

益智(Easy)科技 高中数学基础总复习 2013年7月12日 共 NUMPAGES 9页 Easymathsedu@163.com 三角函数篇 (暑期高三夏营讲义－白林) PAGE  PAGE 9 第3讲 三角变换－03 ——图象 性质 应用 【图象与性质】 三角函数有六个，我们重点了解其中三个——y=sinx、y=cosx、y=tanx (x? eq \f(?,2)+k? ,k?Z)的图象、性质。另三个分别是其倒数，可通过倒数来推得相关性质。 这三个重要函数的图象、性质如下： 名称图 象性 质定义域值域单调性奇偶周期y=sinxR[－1,1]递增区间 递减区间 奇2?y=cosx递增区间 递减区间 偶y=tanxx? eq \f(?,2)+k?, k?ZR 递增区间奇?y=Asin(ωx+φ)R[-A,A]递增区间 递减区间 待考 eq \f(2π, |ω|)函数的性质可以在其图象上得到直观而完整地反映，对某图象认识得越细致、深刻，对该函数的性质获得得就越多且完备。如，通过对正弦曲线的观察知，其对称轴为x= eq \f(π,2)+kπ, k?Z；对称中心为(kπ,0) (k?Z)；直线y=?1与正弦曲线相邻交点间距离值为最小正周期值；等等。 解决函数相关问题，常用而有效的方法之一，是数形结合，三角函数亦不例外； 三角函数中与函数性质相关问题，通常有这样几类： eq \b\lc\{(\a\al\co1(最值问题,值域问题,单调增(减)区间,奇偶性判定,最小正周期,对称轴、对称中心,平移相关问题,…)) 求解这类问题时，我们总是利用恒等变换知识，先将函数表达式“化一”(即化成一个名称的函数或一个三角函数)，再利用相对应三角函数性质回答问题。 【问题、方法再现】 1.⑴函数f(x)= eq \r(sinx)+ eq \f(1,\r(16－x2))的定义域为 ． 简析：由 eq \b\lc\{(\a\al(sinx?0,16－x20)) 解得 eq \b\lc\{(\a\al(2kπ?x?2kπ+π??k?Z,－4x4)) 借助数轴，数形结合，定义域为(－4,－π]?[0,π] ⑵函数y= eq \f(sin2x+sin(2x+\f(π,3)),cos2x+cos(2x+\f(π,3)))的周期为__________ 简析：因为y= eq \f(sin2x+sin(2x+\f(π,3)),cos2x+cos(2x+\f(π,3)))= eq \f(\r(3)sin(2x+\f(π,6)),\r(3)cos(2x+\f(π,6)))=tan(2x+ eq \f(π,6))，所以T= eq \f(π,2) 题中三角式化简，可用二种直接办法完成，一是二角和展开后用辅助角，二是和化积。 ⑶求下列函数的值域 ①y= eq \f(2sinxcos2x,1+sinx)； ② y=log2 eq \f(3－sinx,3+sinx)； ③y= eq \f(1+sinx,3+cosx) 简解：函数问题求解时，一定要注意定义域优先原则，函数的变化都是在定义域内的变化。 ①由题意知1+sinx?0，即x?－ eq \f(?,2)+2k? (k?Z) ∵y= eq \f(2sinx(1－sin2x),1+sinx)=2sinx(1－sinx)=－2(sinx－ eq \f(1,2))2+ eq \f(1,2)， 又∵－1sinx?1，∴sinx= eq \f(1,2)时，ymax= eq \f(1,2)，但sinx?－1，∴y－4，∴原函数的值域为(－4, eq \f(1,2)]． ②∵－1?sinx?1又∵ eq \f(3－sinx,3+sinx)=－1+eq \f(6,3+sinx)，∴ eq \f(1,2)? eq \f(3－sinx,3+sinx)?2，∴－1?y?1， ∴函数y=log2 eq \f(3－sinx,3+sinx)的值域为． ③由y= eq \f(1+sinx,3+cosx)得sinx－ycosx=3y－1，∴ eq \r(