I-角变换-(讲义).docVIP

益智(Easy)科技 高中数学基础总复习 2013年7月7日 共 NUMPAGES 8页 Easymathsedu@163.com 三角函数篇 (暑期高三夏营讲义－白林) PAGE  PAGE 8 第2讲 三角变换－02 【扩展题例及思想方法】 1.已知函数f(x)＝－ eq \r(3)sin2x+sinxcosx，设α∈(0,π)，f( eq \f(α,2))＝ eq \f(1,4)－ eq \f(\r(3),2)，求sinα的值. 解：f(x)＝－ eq \r(3)sin2x+sinxcosx＝ eq \r(3)  eq \f(cos2x-1,2) +  eq \f(1,2)sin2x＝ eq \f(\r(3),2)cos2x+  eq \f(1,2)sin2x－ eq \f(\r(3),2) ＝sin(2x+ eq \f(π,3))－ eq \f(\r(3),2) f( eq \f(α,2))＝sin(α+ eq \f(π,3))－ eq \f(\r(3),2)＝ eq \f(1,4)－ eq \f(\r(3),2) ? sin(α+ eq \f(π,3))＝ eq \f(1,4) 由α∈(0,π)和sin(α+ eq \f(π,3))＝ eq \f(1,4)知α+ eq \f(π,3)∈( eq \f(5π,6),π) ? cos(α+ eq \f(π,3))＝－ eq \f(\r(15),4) ? sinα＝sin[(α+ eq \f(π,3))－ eq \f(π,3)]＝ eq \f(1+3\r(5),8) 简评：注意角范围对三角比值的影响. 2.⑴已知tanx=3tany (0yx eq \f(π,2))，求u＝x－y的最大值 ⑵已知 eq \f(1+sinx,cosx)=－ eq \f(1,2)，则 eq \f(cosx,sinx－1)=_________ 解：⑴由tan(x－y)＝ eq \f(tanx－tany,1+tanxtany)＝ eq \f(2tany,1+3tan2y)＝ eq \f( 2 ,\f(1,tany)+3tany)≤ eq \f( 2 ,2\r(3))＝ eq \f(\r(3),3) ? u≤ eq \f(π,6) 简评：由三角比的值的大小来确定角的大小. 另解：亦可切化弦后由u角的正弦来完成，其过程中用到了角的积化和差知识。 ⑵简析：思路一——由已知获得sinx与cosx间的关系，代入所求式子，化简求解。 由 eq \f(1+sinx,cosx)=－ eq \f(1,2)?cosx=－2－2sinx ? eq \f(cosx,sinx－1)= eq \f(－2－2sinx,sinx－1)=－ eq \f(2(sinx+1),sinx－1)=－ eq \f(2(sinx－1+2),sinx－1) ＝－2(1+ eq \f(2,sinx－1))＝…“无路” 考虑到sin2x+cos2x=1，与已知 eq \f(1+sinx,cosx)=－ eq \f(1,2)联立，解得sinx、cosx，也是可行办法。 思路二——利用同角正、余弦间的关系－“sin2x+cos2x=1”，对所求式变形，以期用已知式表示。 因 eq \f(cosx,sinx－1)= eq \f(cosx(sinx+1),(sinx－1)(sinx+1))= eq \f(cosx(sinx+1),sin2x－1)= eq \f(cosx(sinx+1),－cos2x)=－ eq \f(sinx+1,cosx)? eq \f(cosx,sinx－1)=－(－ eq \f(1,2)) 思路三——用方程思想来思考问题 设 eq \f(cosx,sinx－1)=t，则因 eq \f(1+sinx,cosx)=－ eq \f(1,2)，所以 eq \f(1+sinx,cosx)· eq \f(sinx－1,cosx)=－ eq \f(1,2)· eq \f(1,t) ? －1=－