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PAGE  PAGE 10 第2章 极限与连续 参 考 答 案 1. 证明，数列中只有有限项在a的邻域之外。 Proof. ，当时，。因此，数列中只有，，…，中的某些项位于邻域之外，最多不超过N项。 ，设数列中只有有限项，，…，位于邻域之外，取 ，于是，当时，位于a的邻域之内，即。因此。 2. 用数列极限的定义证明。 Proof：因，故，欲使，只须使即可。取，当时，。 3. 对于数列，若（），（），证明（）。 Proof：因（），故，，当时， 对于同样的?，，当时， 现取，其中，则当时，即有 因此（）。 4. 求极限。 Solution: 因，而 ，故由迫敛性（三明治定理），得所求极限为1。 5. 设，（n = 1，2，…），证明极限存在，并求。 分析：必须证明单调且有界。为了证明单调性，考察 （） （1） 当时，；当时，；当时，。 Proof：1? 当时，由已知，，假设（）??则。由数学归纳法原理，对一切n，均有，即数列有下界。又由（1）知，（n = 1，2，…），因此是单调递减数列。于是是单调递减且有下界的数列，因此必有极限。 2? 当时，由已知，，假设（），则。由数学归纳法原理，对一切n，均有，即数列有上界。又由（1）知，（n = 1，2，…），因此是单调递增数列。于是是单调增加且有上界的数列，因此必有极限。 3? 当时，由已知，对一切n，均有，即数列是常数数列，因此必有极限。 设上述三种情形中的极限为a，则由已知得，故得（注意a为非负值）。 6. 计算下列极限： （1） （2） （3） （4） 7. 用函数极限定义证明： （1） Proof: 不妨设，则，于是 ， 因此，，欲使，只需使即可。取，则当时，。故。 第7（1）题图 （2） Proof: 不妨设，因，则，于是，，欲使，只需使即可。故取，当时，。 8. 求下列极限： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 9. 求下列极限： （1） （2） （3） （4） （其中） （5）求 左右极限不相等。因此所求极限不存在！ （6） （7） （8） 10. 将下列的无穷小按低阶到高阶的次序排列起来： （1）；（2）；（3）；（4）。 Solution: （1）； （2）； （3）； （4） 因此，上述四个无穷小量从低阶到高阶的次序是（1）?（2）?（4）?（3）。 11. 当时，下列函数分别是x的几阶无穷小： （1）；（2）；（3）；（4）。 Solution: （1）（2阶）； （2）（1阶）； （3）（1/8阶）； （4）（1阶） 12. 求下列极限： （1）（无穷小量与有界变量的乘积＝无穷小量） （2）（无穷小量与有界变量的乘积＝无穷小量） （3） （利用时） （4）（利用时，） 13. 函数在内是否有界？当时，该函数的极限是否为无穷大？为什么？ Solution: 取点列（），取，当时，，故函数在内无界； 取点列（），取，当时，，故当时，该函数的极限不是无穷大。 14. 若在上连续，求的值。 Solution: 由 ，得。 15. 求下列函数的间断点，并给出间断点的类型： （1） Solution: 间断点：x = 1，0 因，故为第一类间断点（可去间断点）。 而和都不存在，故为第二类间断点（无穷间断点）。 ，时，函数是连续的。 （2） Solution: 时函数连续。间断点：x = 0 因，，故x = 0为第一类间断点（跳跃间断点）。 （3） Solution: 时，函数是连续的。间断点：x = 1 因，，故x =1为第一类间断点（跳跃间断点）。 16. 若在上连续，其中，且。证明方程在内至少有一个实根。 Proof: 设，由已知： ，。 因此有。若，则即为方程的一个根；若，则，此时，由零点存在定理，在内至少存在一点，使得，即方程在内至少的有一个根。因此，不论与是否相等，方程在上至少有一个实根。 如有错误，敬请指正；如有疑问，欢迎讨论！