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天津大学高等代数(研究生考试题)
PAGE PAGE - 3 - 天津大学08高等代数 填空（每小题4分，共40分） 设、均为n维非零列向量，，则A的秩是： 方程的根的个数为： N元二次型（n为奇数）的正、负惯性指数为： N阶行列式的第一行各元素的代数余子式之和 ？ 5、为4维列向量，，其中线性无关， ，如果，则线性方程组的通解为： 6、n阶行列式展开式中正项总数为： 7、设n维行向量，矩阵，，其中E为n阶单位矩阵，则AB= 8、设4阶方阵，其中均为4维行向量，且已知=8， =1，则= 9、设A为n阶方阵，且，求A的一个特征值为： 10、矩阵与相似，则a=（ ），b=（ ）； 二、（20分）设A、B为n阶方阵且满足AB=A+B，证明：AB=BA。 三、（20分）设有两个线性方程组： （1） （2） 求证：方程组（1）有解的充要条件是方程组（2）无解。 四、（20分）设中线性变换在基下的矩阵为，线性变换 在基下的矩阵为， 求在基下的矩阵； 求在基下的矩阵； 设，求在基下的坐标； 求在基下的坐标。 五、（20分）给定欧式空间V的变换是取定的单位元素。证明（1）是线性变换；（2）即使正交变换，又是对称变换；（3）是的一个特征向量，并求其对应的特征值。 六、（15分）设A，B是可换的n阶实对称矩阵，且A，B，A+B都可逆，证明： 七、（15分）设。 （1）求证：W是的子空间； （2）若A的全体次数非零的不变因子为，求。
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