常微分的方程.docVIP

第九章 常微分方程 微分方程是含有未知函数导数或微分的等式。是描述客观事物的数量关系的一种重要数学模型。本章重点研究常见的微分方程的解法，并通过实际问题探讨建立微分方程数学模型的思想方法。 实际用微分方程验证解是否符合实际问题 §1 常数分方程的基本概念及分离变量法 一、微分方程的基本概念 1．微分方程：含有未知函数或微分的方程 如： ① 一阶微分方程 ② 二阶微分方程 ③ 一阶微分方程 ④ 三阶微分方程 一般的：称为阶微分方程 2．常微分方程：未知函数为一元函数的方程，如上例均是常微分方程。 3．微分方程的阶：含有未知函数导数的最高阶数，称为该微分方程的阶。 如①、③为一阶、②为二阶、④为三阶微分方程 4．线性微分方程：各阶导数及未知函数都是一次的微方程 如①、②、③、④均是线性。 而为非线性微分方程 5．常系数线性微分方程：线性方程中，未知函数及各阶导的系数均为常数 如①、②、③是常系数 ③ 6．微分方程的解：若满足方程 即 则称是方程的解。 如：是 的解 而是的任意解 通解：含有任意常数的解，且任意常数相互独立、个数等于阶数。 如 是的通解 是的通解 特解：不含任意常数的解 如 是的一个特解 是的一个特解 解的几何意义：通解：一族积分曲线，称为积分曲线 特解：一条曲线 7．初始条件：确定任意常数的条件 通常：一阶方程，初始条件 二阶方程，初始条件 如： 求解 ———— 称为初值问题 解： 通解：，特解：代入 为初值的解 例1 验证：是微分方程的通解，并求满足的特解 解：（1） 是方程的解 又 是两个相互独立（无关）的任意常数， 是方程的通解 （2）由得 解得 初始条件特解 Def：（线性相关，线性无关）设函数是定义在区间内的函数，若不全为零，对， 都有： 则称线性相关，否则线性无关。 注：线性无关的 如： 则：与线性无关 其中中与相互独立， 而 中，与不是相互独立的。 二、分离变量法 Def2：若一阶微分方程，可写成 ① 则称其为可分离变量的微分方程 解法：①式为 积分 是①通解 例2. 求下例微分方程的通解 （1） 解： 两边积分 得 故 方程通解，其中为任意常数 （2） 解： 得： ， 是通解 例3. 求满足的解 解：原式为 又得 例4. 设降落伞塔下落，所受空气阻力与速度成正比，降落伞离开塔顶时的速度为零，求降落伞下落速度与时间的函数关系。 解：设降落伞下落速度为 则 ① 且 ② 求解① 得 整理得： 又 故所求解： 特解的物理意义：是单增函数的，且时， 说明跳伞后，开始阶段是加速运动，以后逐渐趋于匀速直线运动 练习： 1. 指出下列微分方程的阶数，并说明是否为线性方程 （1） 1阶非线性 （2） 2阶线性常系数 （3） 3阶非线性 （4） 5阶线性非常系数 2．解下列微分方程 （1） 解 （2） 解 （3） 且 解 由得 3．验证：（c为常数）是否为为通解。 解 ，两边微分即 4．一曲线通过（1，2）点，且曲线上任意一点处切线斜率为，这条曲线方程为 （ 答） 作业：P242 2(1)(2)(3),4,6,7,10(1)(3)(5)(7),11(1)(3)(5) §2 一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程 一、一阶线性微分方程 Def： 方程 （1） 称为一阶线性方程 若，则（1）式为非齐次线性方程。 若，则（1）式为 （2） 称为齐次线性方程 解法： 首先（2）式变为 即 则 为（2）式通解 其次求（1）的通解：令代入（1）式 得 化简： 故 为（1）式通解 上述解法称为常数变量法。 例1. 求解下列微方程 （1） 解：原式中 即 （2） 解： 原式为 通解： 即 （3） 解：原式为： 通解： 即 （4） 解：原式为 通解 即 例2. 设有连结点和 的一段向上的曲线弧，对于上的任意一点，弧与直线段所围图形面积为，求曲线弧的方程 解：